Equação de Klein-Gordon: mudanças entre as edições

Edição das 01h21min de 8 de janeiro de 2025

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ . A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$(◻ + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}}) ψ (x, t) = 0$

onde $(◻ = \frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}} - \nabla^{2})$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \nabla^{2} ψ - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $Δ t$ criando uma sequência de pontos $t_{n} = n Δ t$ . Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $Δ x$ criando uma sequência de pontos $x_{i} = i Δ x$ . Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

$\frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{Δ t}$ e $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \approx \frac{u_{i}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n} + u_{i}^{n - 1}}{(Δ t)^{2}}$ para o tempo.

$\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i + 1}^{n} - u_{i}^{n}}{Δ x} e \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \approx \frac{u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n}}{(Δ x)^{2}}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

$\frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial t^{2}} \approx \frac{ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ t)^{2}}$

$\frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x - Δ x, t)}{(Δ x)^{2}}$

ou seja:

$\frac{ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ t)^{2}} = c^{2} \frac{ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ x)^{2}} - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$

isso nos leva a equação final:

$ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t) = \frac{c^{2} Δ t^{2}}{Δ x^{2}} ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ, t) - \frac{m^{2} c^{4} Δ t^{2}}{ℏ^{2}} ψ$

chamarei $α = \frac{c Δ t}{Δ x}$ e $β = \frac{m c^{2} Δ t}{ℏ}$

portanto, $ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t) = α^{2} ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t) - β^{2} ψ$

ou, mais usualmente: $ψ_{i}^{n + 1} = 2 ψ_{i}^{n} - ψ_{i}^{n - 1} + α^{2} (ψ_{i + 1}^{n} - 2 ψ_{i}^{n} + ψ_{i - 1}^{n}) - β^{2} ψ$

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: $\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ .$

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: $ψ_{i}^{n + 1} = 2 ψ_{i}^{n} - ψ_{i}^{n - 1} + \frac{c^{2} Δ t^{2}}{Δ x^{2}} (ψ_{i + 1}^{n} - 2 ψ_{i}^{n} + ψ_{i - 1}^{n}) - \frac{m^{2} c^{4} Δ t^{2}}{ℏ^{2}} ψ_{i}^{n} .$ Aqui, definimos os coeficientes: $α = \frac{c Δ t}{Δ x}, β = \frac{m c^{2} Δ t}{ℏ} .$

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: $ψ_{i}^{n} = G^{n} e^{i k x_{i}},$ onde:

 na equação:  $G^{n + 1} e^{i k x_{i}} = 2 G^{n} e^{i k x_{i}} - G^{n - 1} e^{i k x_{i}} + α^{2} G^{n} (e^{i k x_{i + 1}} - 2 e^{i k x_{i}} + e^{i k x_{i - 1}}) - β^{2} G^{n} e^{i k x_{i}} .$

Simplificação:

Como $e^{i k x_{i + 1}} = e^{i k x_{i}} e^{i k Δ x}$ e $e^{i k x_{i - 1}} = e^{i k x_{i}} e^{- i k Δ x}$ , o termo centralizado se torna: $e^{i k x_{i + 1}} - 2 e^{i k x_{i}} + e^{i k x_{i - 1}} = e^{i k x_{i}} (e^{i k Δ x} - 2 + e^{- i k Δ x}) .$ Usando $e^{i k Δ x} + e^{- i k Δ x} = 2 \cos (k Δ x)$ , temos: $e^{i k x_{i + 1}} - 2 e^{i k x_{i}} + e^{i k x_{i - 1}} = e^{i k x_{i}} (- 2 + 2 \cos (k Δ x)) .$ Substituímos isso na equação e cancelamos o fator $e^{i k x_{i}}$ , que nunca é zero: $G^{n + 1} = 2 G^{n} - G^{n - 1} - α^{2} (2 - 2 \cos (k Δ x)) G^{n} - β^{2} G^{n} .$

Simplificando mais, obtemos: $G^{n + 1} = (2 - α^{2} (2 - 2 \cos (k Δ x)) - β^{2}) G^{n} - G^{n - 1} .$

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma $G^{n} = G^{n}$ e obtemos uma equação quadrática para $G$ : $G^{2} - G (2 - α^{2} (2 - 2 \cos (k Δ x)) - β^{2}) + 1 = 0 .$

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de $G$ devem satisfazer $| G | \leq 1$ . Isso leva ao critério: $α \leq 1, ou seja, \frac{c Δ t}{Δ x} \leq 1 .$

Conclusão Matemática: A condição $α \leq 1$ garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo $Δ t$ , mais precisa e estável é a solução. A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito $Δ t$ sem ajustar $Δ x$ pode levar à instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$ψ (x, 0) = A e^{- \frac{x - x_{0}}{2 σ^{2}}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e $\frac{\partial ψ (x, 0)}{\partial t} = 0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_{0}$ é a posição central do pulso e $σ$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $ψ (0, t) = 0$ e $ψ (L, t) = 0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas:

@@ Linha 47: / Linha 47: @@
-A equação discretizada é dada por:
+Forma Contínua e Discretização: A equação de Klein-Gordon contínua é: <math> \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. </math>
-<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n </math>
+A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: <math> \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math> Aqui, definimos os coeficientes: <math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. </math>
-Definimos:
+Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: <math> \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, </math> onde:
-<math> \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} </math>,
+  na equação: <math> G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. </math>
-para simplificar a notação, e escrevemos:
-<math> \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + s^2 (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
+Simplificação:
+Como <math> e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} </math> e <math> e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} </math>, o termo centralizado se torna: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). </math>
+Usando <math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) </math>, temos: <math> e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). </math>
+Substituímos isso na equação e cancelamos o fator <math> e^{i k x_i} </math>, que nunca é zero: <math> G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. </math>
+Simplificando mais, obtemos: <math> G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. </math>
-Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:
+Equação Característica: Assumimos uma solução da forma <math> G^n = G^n </math> e obtemos uma equação quadrática para <math> G </math>: <math> G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. </math>
-<math> \psi_i^n = A e^{i(kx_i - \omega t_n)}, </math>
+Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de <math> G </math> devem satisfazer <math> |G| \leq 1 </math>. Isso leva ao critério: <math> \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>
-onde:
-<math>A</math> é a amplitude,
+Conclusão Matemática:
-<math>k</math> é o número de onda,
+A condição <math> \alpha \leq 1 </math> garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:
-<math>\omega</math> é a frequência angular discreta,
-<math>x_i = i \Delta x</math> e <math>t_n = n \Delta t</math> são os pontos espaciais e temporais.
-No esquema discreto:
-<math> \psi_i^n = A e^{i(k i \Delta x - \omega n \Delta t)}. </math>
+Quanto menor o passo de tempo <math> \Delta t </math>, mais precisa e estável é a solução.
-Substituímos nas expressões de <math>\psi_i^{n+1}</math>, <math>\psi_i^n</math>, <math>\psi_i^{n-1}</math>, <math>\psi_{i+1}^n</math>, e <math>\psi_{i-1}^n</math>:
+A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito <math> \Delta t </math> sem ajustar <math> \Delta x </math> pode levar à instabilidade.
-<math> \psi_i^{n+1} = A e^{i(k i \Delta x - \omega (n+1) \Delta t)} = \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t}. </math>
-De forma semelhante:
-<math> \psi_i^{n-1} = \psi_i^n e^{i \omega \Delta t}, \quad \psi_{i+1}^n = \psi_i^n e^{i k \Delta x}, \quad \psi_{i-1}^n = \psi_i^n e^{-i k \Delta x}. </math>
-Substituímos essas expressões na equação:
-<math> \psi_i^n e^{-i \omega \Delta t} = 2\psi_i^n - \psi_i^n e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(\psi_i^n e^{i k \Delta x} - 2\psi_i^n + \psi_i^n e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. </math>
-Dividimos tudo por <math>\psi_i^n</math>:
-<math> e^{-i \omega \Delta t} = 2 - e^{i \omega \Delta t} + s^2 \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2}. </math>
-Para simplificar, usamos:
-<math> e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x), </math>
-e
-<math> e^{-i \omega \Delta t} + e^{i \omega \Delta t} = 2 \cos(\omega \Delta t). </math>
-Substituímos e reorganizamos:
-<math> \cos(\omega \Delta t) = 1 - \alpha^2 (1 - \cos(k \Delta x)) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{2 \hbar^2}. </math>
-Para que a solução seja estável, o módulo de <math>\cos(\omega \Delta t)</math> deve ser no máximo 1 (<math>|\cos(\omega \Delta t)| \leq 1</math>). Isso impõe a seguinte condição no termo <math>s^2</math>:
-<math> \alpha^2 = \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \leq 1. </math>
-Ou seja:
-<math> \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. </math>
-<math>\alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}</math> representa a relação entre os passos no tempo (<math>\Delta t</math>) e no espaço (<math>\Delta x</math>).
-Se <math>\alpha > 1</math>, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.
 == C.C e C.I ==

Equação de Klein-Gordon: mudanças entre as edições

Edição das 01h21min de 8 de janeiro de 2025

Índice

INTRODUÇÃO

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

C.C e C.I

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INTRODUÇÃO

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

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