Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x,t)=0$

onde $\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\Delta t$ criando uma sequência de pontos $t_{n}=n\Delta t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\Delta x$ criando uma sequência de pontos $x_{i}=i\Delta x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}$ e ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-2u_{i}^{n}+u_{i}^{n-1}}{(\Delta t)^{2}}}$ para o tempo.

${\frac {\partial u}{\partial x}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^{2}}}$

ou seja:

${\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}=c^{2}{\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta ,t)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

chamarei $\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$ e $\beta ={\frac {mc^{2}\Delta t}{\hbar }}$

portanto, $\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)=\alpha ^{2}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)-\beta ^{2}\psi$

ou, mais usualmente: $\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+\alpha ^{2}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-\beta ^{2}\psi$

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

A equação discretizada é dada por:

$\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+{\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi _{i}^{n}$

Definimos:

$\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$, para simplificar a notação, e escrevemos:

$\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+s^{2}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi _{i}^{n}.$

Suponha que a solução seja uma onda harmônica no espaço e no tempo:

$\psi _{i}^{n}=Ae^{i(kx_{i}-\omega t_{n})},$ onde:

$A$ é a amplitude, $k$ é o número de onda, $\omega$ é a frequência angular discreta, $x_{i}=i\Delta x$ e $t_{n}=n\Delta t$ são os pontos espaciais e temporais. No esquema discreto:

$\psi _{i}^{n}=Ae^{i(ki\Delta x-\omega n\Delta t)}.$ Substituímos nas expressões de $\psi _{i}^{n+1}$, $\psi _{i}^{n}$, $\psi _{i}^{n-1}$, $\psi _{i+1}^{n}$, e $\psi _{i-1}^{n}$:

$\psi _{i}^{n+1}=Ae^{i(ki\Delta x-\omega (n+1)\Delta t)}=\psi _{i}^{n}e^{-i\omega \Delta t}.$ De forma semelhante:

$\psi _{i}^{n-1}=\psi _{i}^{n}e^{i\omega \Delta t},\quad \psi _{i+1}^{n}=\psi _{i}^{n}e^{ik\Delta x},\quad \psi _{i-1}^{n}=\psi _{i}^{n}e^{-ik\Delta x}.$

Substituímos essas expressões na equação:

$\psi _{i}^{n}e^{-i\omega \Delta t}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n}e^{i\omega \Delta t}+s^{2}\left(\psi _{i}^{n}e^{ik\Delta x}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i}^{n}e^{-ik\Delta x}\right)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi _{i}^{n}.$ Dividimos tudo por $\psi _{i}^{n}$:

$e^{-i\omega \Delta t}=2-e^{i\omega \Delta t}+s^{2}\left(e^{ik\Delta x}-2+e^{-ik\Delta x}\right)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}.$

Para simplificar, usamos:

$e^{ik\Delta x}+e^{-ik\Delta x}=2\cos(k\Delta x),$ e

$e^{-i\omega \Delta t}+e^{i\omega \Delta t}=2\cos(\omega \Delta t).$ Substituímos e reorganizamos:

$\cos(\omega \Delta t)=1-s^{2}(1-\cos(k\Delta x))-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{2\hbar ^{2}}}.$

Para que a solução seja estável, o módulo de $\cos(\omega \Delta t)$ deve ser no máximo 1 ($|\cos(\omega \Delta t)|\leq 1$). Isso impõe a seguinte condição no termo $s^{2}$:

$s^{2}={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\leq 1.$ Ou seja:

${\frac {c\Delta t}{\Delta x}}\leq 1.$

$s={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$ representa a relação entre os passos no tempo ($\Delta t$) e no espaço ($\Delta x$). Se $s>1$, a onda "se propaga rápido demais" em relação à resolução do espaço-tempo, o que pode causar instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condições iniciais e de contorno:

$\psi (x,0)=Ae^{-{\frac {x-x_{0}}{2\sigma ^{2}}}}$ que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e ${\frac {\partial \psi (x,0)}{\partial t}}=0$ que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, $x_{0}$ é a posição central do pulso e $\sigma$ é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que $\psi (0,t)=0$ e $\psi (L,t)=0$ o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas: