Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=p^2c^2 + m^2c^4 } . A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \Box + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right) \psi(x,t)= 0 }

onde $\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi} (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t } criando uma sequência de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_n=n\Delta t } . Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x } criando uma sequência de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i=i\Delta x } . Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} } para o tempo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} } para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} }

ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi }

isso nos leva a equação final:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi }

chamarei Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} }

portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi }

ou, mais usualmente: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi }

CRITÉRIO DE ESTABILIDADE

A Forma Contínua e Eiscretização da equação de Klein-Gordon contínua é: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi. }

A forma discreta, usando diferenças finitas centralizadas no tempo e no espaço, é: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = 2 \psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} (\psi_{i+1}^n - 2 \psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi_i^n. } Aqui, definimos os coeficientes: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x}, \quad \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar}. }

Suposição de Solução Harmônica: Substituímos uma solução da forma: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n = G^n e^{i k x_i}, } onde:

 na equação: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle  G^{n+1} e^{i k x_i} = 2 G^n e^{i k x_i} - G^{n-1} e^{i k x_i} + \alpha^2 G^n \left(e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}}\right) - \beta^2 G^n e^{i k x_i}. }

Simplificação:

Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k x_{i+1}} = e^{i k x_i} e^{i k \Delta x} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} e^{-i k \Delta x} } , o termo centralizado se torna: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(e^{i k \Delta x} - 2 + e^{-i k \Delta x}\right). } Usando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k \Delta x} + e^{-i k \Delta x} = 2 \cos(k \Delta x) } , temos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k x_{i+1}} - 2 e^{i k x_i} + e^{i k x_{i-1}} = e^{i k x_i} \left(-2 + 2 \cos(k \Delta x)\right). } Substituímos isso na equação e cancelamos o fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i k x_i} } , que nunca é zero: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{n+1} = 2 G^n - G^{n-1} - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) G^n - \beta^2 G^n. }

Simplificando mais, obtemos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^{n+1} = (2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2) G^n - G^{n-1}. }

Equação Característica: Assumimos uma solução da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^n = G^n } e obtemos uma equação quadrática para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G } : Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^2 - G \left(2 - \alpha^2 (2 - 2 \cos(k \Delta x)) - \beta^2 \right) + 1 = 0. }

Condição de Estabilidade: Para estabilidade, as raízes de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G } devem satisfazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G| \leq 1 } . Isso leva ao critério: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \leq 1, \quad \text{ou seja,} \quad \frac{c \Delta t}{\Delta x} \leq 1. }

Conclusão Matemática A condição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha \leq 1 } garante que os termos oscilatórios na solução não crescem exponencialmente. Essa análise também mostra que:

Quanto menor o passo de tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t } , mais precisa e estável é a solução. A relação entre os passos de tempo e espaço é crucial: aumentar muito Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t } sem ajustar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x } pode levar à instabilidade.

C.C e C.I

Condições iniciais e condições de contorno são fundamentais para a resolução da equação, já que elas ditam o comportamento da função oa longo do tempo e ao longo do espaço, para plotar a evolução temporal, utilizarei as seguintes condilções iniciais e de contorno:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,0) = Ae^{-\frac{x-x_0}{2\sigma^2}}} que define um pulso gaussiano como condição inicial.

e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \psi(x,0)}{\partial t} =0 } que define que, no instante de tempo t=0, a função não possui velocidade inicial, o que implica que o pulso está parado inicialmente e sua evolução se deve pela propagação de flutuações espaciais.

Nesta condição, A é a altura do pulso, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0 } é a posição central do pulso e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma } é a largura do pulso.

Utilizarei também as condições de contorno em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(0,t)= 0 } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(L,t)=0 } o que garante que a função 'morra' nas pontas.

Utilizando estas condições iniciais e condições de contorno, foi feito um gif que mostra a evolução temporal da equação de Klein-Gordon utilizando o método das diferenças finitas: