Grupo2 - Ondas1

Integrantes do grupo: Rodrigo Zamin Ferreira (262692), Leonardo Xavier Rodrigues (262696), Maurício Gomes de Queiroz (264889) e Rodrigo Lopes de Sousa Silva (262705)

Introdução

A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto, neste caso, um que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.

Inicialmente, para testarmos os diferentes métodos, utilizaremos a equação da onda em uma dimensão, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, para modelarmos uma corda:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} }

em que $u(x,t)$ é o deslocamento vertical da corda, $c$ é a velocidade de propagação da onda e $0<x<L$, com $L$ o comprimento da corda.

Admitindo $c=1$,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \Big( \frac{\partial u}{\partial t} \Big) = \frac{\partial}{\partial x} \Big( \frac{\partial u}{\partial x} \Big) } .

Uma vez que os métodos citados abaixo são para equações de primeira ordem, é necessário separarmos a equação em um sistema de equações, fazendo a substituição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=\frac{\partial u}{\partial t} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w= \frac{\partial u}{\partial x} } , de forma que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases} \dfrac{\partial v}{\partial t}=\dfrac{\partial w}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial w}{\partial t} \\ \end{cases} }

As condições de contorno utilizadas aqui são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(0, t) = u(L, t) = 0 } (pontas fixas), e as condições iniciais são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,0) = \sin{\Big(\frac{\pi x}{L}\Big)} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 }

Algoritmos

Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados. A respeito das discretizações, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j } corresponde à posição, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } representa o tempo.

Método de Lax-Friedrichs - Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}(\Delta x^2, \Delta t )}

Esse método consiste em inicialmente discretizar as equações no esquema FTCS (Forward Time Centered Space), ou seja, discretizando a derivada temporal utilizando os tempos n e n+1 e a derivada espacial através das posições j-1 e j+1:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\Delta t}(v_{j}^{n+1} - v_j^n) = \frac{1}{2\Delta x} (w_{j+1}^{n} - w_{j-1}^{n}) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\Delta t}(w_{j}^{n+1} - w_j^n) = \frac{1}{2\Delta x} (v_{j+1}^{n} - v_{j-1}^{n})} .

Resultando em

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+1} = v_j^n + \frac{\Delta t}{2\Delta x}(w_{j+1}^{n} - w_{j-1}^{n}) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j}^{n+1} = w_j^n + \frac{\Delta t}{2\Delta x}(v_{j+1}^{n} - v_{j-1}^{n}) } .

Entretanto, ao se realizar uma análise de estabilidade de Von Neumann, conclui-se que esse método é instável . Para torná-lo estável, é necessário trocarmos os termos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_j^n } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_j^n } por suas médias espaciais, chegando, assim, na expressão do esquema de Lax-Friedrichs:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+1} = \Big( \frac{ v_{j-1}^{n} + v_{j+1}^{n}}{2} \Big) + \frac{\Delta t}{2\Delta x}(w_{j+1}^{n} - w_{j-1}^{n}) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j}^{n+1} = \Big( \frac{ w_{j-1}^{n} + w_{j+1}^{n}}{2} \Big) + \frac{\Delta t}{2\Delta x}(v_{j+1}^{n} - v_{j-1}^{n}) } .

Para obtermos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1} } , que é o nosso objetivo, discretizamos a equação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = v}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1} = u_{j}^{n} + v_{j}^{n}\Delta t } ,

Embora as médias espaciais sejam necessárias para a estabilidade do método, elas introduzem um problema: surge um efeito chamado de dissipação numérica, ou seja, a amplitude da solução diminui com o tempo. Isso pode ser observado através da análise de Von Neumann ou de uma investigação da equação do esquema Lax-Friedrichs . Por este método, observa-se que ao inserirmos as médias, mudamos a equação original do problema, pois agora há também um termo do tipo difusivo (uma derivada segunda) .

Agora vamos unir todas as equações, utilizando, além da equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} obtida acima, as discretizações de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=\frac{\partial u}{\partial t} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w= \frac{\partial u}{\partial x} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_j^n = \frac{1}{\Delta t} (u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n})} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_j^n = \frac{1}{2\Delta x} (u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n})} .

Assim, obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1} = u_{j}^{n} + \Big( \frac{u_{j-1}^{n} + u_{j+1}^{n}}{2} \Big) - \Big( \frac{u_{j-1}^{n-1} + u_{j+1}^{n-1}}{2} \Big) + \frac{(\Delta t)^2}{4(\Delta x)^2} \Big( u_{j-2}^{n-1} -2u_{j}^{n-1} + u_{j+2}^{n-1}\Big) } .

Método de Leapfrog - Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}(\Delta x^2, \Delta t^2 )}

Neste método utilizamos os pontos intermediários na discretização das equações.

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\Delta t}\bigg( v_{j}^{n+\frac{1}{2}} - v_{j}^{n-\frac{1}{2}}\bigg) = \frac{1}{\Delta x}\Big(w_{j+\frac{1}{2}}^{n} - w_{j-\frac{1}{2}}^{n}\bigg) \Rightarrow v_{j}^{n+\frac{1}{2}} = v_{j}^{n-\frac{1}{2}} + \frac{\Delta t}{\Delta x} \bigg(w_{j+\frac{1}{2}}^{n} - w_{j-\frac{1}{2}}^{n} \bigg) } ,

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\Delta x}\bigg(v_{j+1}^{n+\frac{1}{2}} - v_{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigg) = \frac{1}{\Delta t}\bigg(w_{j+\frac{1}{2}}^{n+1} - w_{j+\frac{1}{2}}^{n} \bigg) \Rightarrow w_{j+\frac{1}{2}}^{n+1} = w_{j+\frac{1}{2}}^{n} + \frac{\Delta t}{\Delta x} \bigg(v_{j+1}^{n+\frac{1}{2}} - v_{j}^{n+\frac{1}{2}}\bigg) } ,

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{\partial u}{\partial t} \bigg|_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\Delta t} (u_{j}^{n+1} - u_j^n) \Rightarrow u_{j}^{n+1} = u_j^n + v_{j}^{n+\frac{1}{2}} \Delta t} ,

Utilizando o fato de que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\Delta t} (u_{j}^{n+1} - u_j^n)} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j+\frac{1}{2}}^{n} = \frac{1}{\Delta x} (u_{j+1}^{n} - u_{j}^{n})} ,

chegamos na equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1} = 2u_{j}^{n} - u_{j}^{n-1} + \frac{(\Delta t)^2}{(\Delta x)^2}(u_{j+1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n}) } ,

o que é equivalente a discretizarmos a equação da onda diretamente, utilizando que, para uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d^2f}{dx^2}\bigg|_j = \frac{1}{(\Delta x)^2}(f_{j-1} - 2f_j + f_{j+1})} ,

sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} a discretização em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

Método de Lax-Wendroff de Dois Passos - Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}(\Delta x^2, \Delta t^2 )}

O primeiro passo consiste em calcular o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{n+\frac{1}{2}}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w^{n+\frac{1}{2}}} utilizando o método de Lax-Friedrichs, para posterior cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^{n+1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w^{n+1}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}( v_{j+1}^{n} + v_{j}^{n} ) + \frac{\Delta t }{2\Delta x} (w_{j+1}^{n} - w_{j}^{n}) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}( v_{j}^{n} + v_{j-1}^{n} ) + \frac{\Delta t }{2\Delta x} (w_{j}^{n} - w_{j-1}^{n}) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}( w_{j+1}^{n} + w_{j}^{n} ) + \frac{\Delta t }{2\Delta x} (v_{j+1}^{n} - v_{j}^{n}) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}( w_{j}^{n} + w_{j-1}^{n} ) + \frac{\Delta t }{2\Delta x} (v_{j}^{n} - v_{j-1}^{n}) } ,

Agora, no tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n+1} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+1} = v_{j}^{n} + \frac{\Delta t}{\Delta x} \bigg(w_{j+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - w_{j-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\bigg) } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j}^{n+1} = w_{j}^{n} + \frac{\Delta t}{\Delta x} \bigg(v_{j+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} - v_{j-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}\bigg) } ,

Agrupando as equações,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w_{j}^{n+1} = w_j^n + \frac{\Delta t}{\Delta x} \Bigg[\frac{1}{2}(v_{j+1}^{n} - v_{j-1}^{n}) + \frac{\Delta t}{2\Delta x} (w_{j+1}^{n} - 2 w_{j}^{n} + w_{j-1}^{n})\Bigg] } ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+1} = v_j^n + \frac{\Delta t}{\Delta x} \Bigg[\frac{1}{2}(w_{j+1}^{n} - w_{j-1}^{n}) + \frac{\Delta t}{2\Delta x} (v_{j+1}^{n} - 2 v_{j}^{n} + v_{j-1}^{n})\Bigg] } ,

E finalmente temos a equação unificada em u, utilizando a expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{j}^{n+1} } e as discretizações de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=\frac{\partial u}{\partial t} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w= \frac{\partial u}{\partial x} } , como obtidas na seção sobre o Método de Lax-Friedrichs:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1} = u_{j}^{n} + v_{j}^{n}\Delta t }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{n+1} = 2u_{j}^{n} - u_{j}^{n-1} + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2}\Bigg[ \frac{1}{2}u_{j+2}^{n-1} - \frac{1}{2}u_{j-2}^{n-1} + u_{j+1}^{n} - u_{j+1}^{n-1} - 2u_{j}^{n} + u_{j}^{n-1} + u_{j-1}^{n} - u_{j-1}^{n-1}\Bigg] } ,

Programas

Ao implementarmos o método, surgem dois problemas: o problema não é auto-inicializável, pois para calcularmos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{1}} , necessitamos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} (além de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{0}} ). Entretanto, isto é rapidamente solucionado quando discretizamos a condição inicial de que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 } :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2\Delta t} (u_j^{1} - u_j^{-1}) = 0 \Rightarrow u_j^{1} = u_j^{-1}} ,

ou seja, para o cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} , utilizamos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{1} = u_j^{-1} } . Através do método de Leapfrog, dessa forma conseguimos isolar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{-1} = 2u_{j}^{0} - u_{j}^{-1} + \frac{(\Delta t)^2}{(\Delta x)^2}(u_{j+1}^{0} - 2u_{j}^{0} + u_{j-1}^{0})} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j}^{-1} = u_{j}^{0} + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2}(u_{j+1}^{0} - 2u_{j}^{0} + u_{j-1}^{0})} .

Porém, isso não ocorre com os outros dois métodos, pois surgem termos em diferentes posições para o tempo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=0} (de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-2}^{0}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^{0}} , até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{2}^{0}} ), sendo necessário resolvermos o sistema como um todo simultaneamente, ou seja, teríamos que inverter uma matriz. Por isso, foi utilizado o método de Leapfrog para o cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{-1}} em todos os métodos, devido a sua simplicidade.

Além disso, são necessários valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^n} e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j_{max}+1}^n} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j_{max}} correspondendo a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = L} , para calcularmos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_1^{n}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j_{max}}^{n}} , para qualquer tempo, utilizando os métodos de Lax-Wendroff de dois passos e Lax-Friedrichs. A solução a este problema foi utilizarmos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^n = -u_{1}^n }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{j_{max}+1}^n = -u_{j_{max}-1}^n } .

Pensando na condição inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,0) = \sin{\Big(\frac{\pi x}{L}\Big)} } , e estendendo para além da corda (pensando no seno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\infty<x<\infty } ), observamos que ela respeita as equações acima.

Análise de erros

Primeiramente, segue embaixo as soluções geradas pelos programas comparadas com a solução analítica, em seguida será mostrada a análise de erros. O gráfico foi gerado visando resolver um problema de uma corda presa nas pontas, com uma condição inicial em formato de seno.

Comparação da solução analítica com as soluções numéricas

A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = \frac{\Delta t}{\Delta x}} . Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro).

A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração. Nesse caso, a solução é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x, t) = \cos{\Big(\frac{\pi t}{L}\Big)}\sin{\Big(\frac{\pi x}{L}\Big)}} .

O erro aqui foi obtido fazendo uma média, ou seja,a soma do erro de cada ponto discretizado sobre o total de pontos, no tempo final VALOR AQUI.

Podemos observar a ordem com que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior. Lembrando que os valores da constante são determinados pela discretização do espaço e do tempo.

Aqui variamos o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} , fixando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x=1}

Comparação do erro global entre os três métodos estudados com escala logarítimica em ambos os eixos

Observamos que se determinarmos a reta que melhor se ajusta às curvas dos métodos de Leapfrog e Lax-Wendroff, ela tem inclinação aproximadamente 1, já que a inclinação dá a ordem do erro global (já que fizemos o cálculo do erro após muitos passos transcorridos), que é sempre uma ordem menor do que o erro local (erro de um passo).

Simulação de Propagação de Onda 2D no Mar Dependente de Topografia

O modelo mais simples para a propagação de onda dependente da topografia parte da equação da onda [1], incluindo um termo da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} .

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \Big( \frac{\partial}{\partial x} H(x,y,t) \frac{\partial u}{\partial x}\Big) + \Big( \frac{\partial}{\partial y} H(x,y,t) \frac{\partial u}{\partial y}\Big) - \frac{\partial^2 H}{\partial t^2} } ,

Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.

Exemplo de mapeamento de terreno sub - calota polar feito por AUV (autonomous underwater vehicle)[2]

Como primeira abordagem visando uma análise em 2D, a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a medida que a profundidade diminui, a amplitude da onda e sua frequência crescem [5]. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.

Simulação em 1D de ondas perto da margem

É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.

A dependência em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.

Estendendo o algoritmo do Leap-Frog à situação 2D, obtemos, para uma dada condição inicial e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y) = C} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} é uma constante de valor igual a 1 e H não depende do tempo, por questão de simplicidade:

Simulação em 2D de ondas em águas com profundidade constante, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com profundidade constante, visão em ângulo

Podemos então, analisar como a mesma condição inicial se porta quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(x,y,t)} descreve uma gaussiana na origem:

Simulação em 2D de ondas em águas com gaussiana na origem, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com gaussiana na origem, visão em ângulo

Perfil da onda em sua diagonal:

Perfil da onda em sua diagonal no tempo de simulação igual a 300

Bibliografia

¹"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [1]; Último acesso em 23/10/2017.

²"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.

³ Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

⁴ "Métodos Computacionais da Física C - Aula 2 - 2016/1" por Heitor C. M. Fernandes, Instituto de Física, UFRGS; Último acesso em 23/10/2017.