Equação de Klein-Gordon: mudanças entre as edições

Edição das 19h55min de 5 de janeiro de 2025

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ . A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$(◻ + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}}) ψ (x, t) = 0$

onde

$(◻ = \frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}} - \nabla^{2})$

então

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \nabla^{2} ψ - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$ (em uma dimensão)

no método das diferenças finitas:

$\frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial t^{2}} \approx \frac{ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ t)^{2}}$

$\frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, - Δ, t)}{(Δ x)^{2}}$

ou seja:

$\frac{ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ t)^{2}} = c^{2} \frac{ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, - Δ, t)}{(Δ x)^{2}} - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$

isso nos leva a equação final:

$ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t) = \frac{c^{2} Δ t^{2}}{Δ x^{2}} ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, - Δ, t) - \frac{m^{2} c^{4} Δ t^{2}}{ℏ^{2}} ψ$

chamarei $α = \frac{c Δ t}{Δ x}$ e $β = \frac{m c^{2} Δ t}{ℏ}$

$ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t) = α^{2} ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, - Δ, t) - β^{2} ψ$

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	A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>		A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein <math>E=p^2c^2 + m^2c^4 </math>. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

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