Equação de Klein-Gordon: mudanças entre as edições

Edição das 19h19min de 5 de janeiro de 2025

$(◻ + \frac{m^{2} c^{2}}{ℏ^{2}}) ψ (x, t) = 0$

onde

$(◻ = \frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}} - \nabla^{2})$

então

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \nabla^{2} ψ - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$

$\frac{\partial^{2} ψ}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} - \frac{m^{2} c^{4}}{ℏ^{2}} ψ$ (em uma dimensão)

no método das diferenças finitas:

$\frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial t^{2}} \approx \frac{ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ t)^{2}}$

$\frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, - Δ, t)}{(Δ x)^{2}}$

ou seja:

$\frac{ψ (x, t + Δ t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, t - Δ t)}{(Δ t)^{2}} = c^{2} \frac{ψ (x + Δ x, t) - 2 ψ (x, t) + ψ (x, - Δ, t)}{(Δ x)^{2}}$

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	ou seja:		ou seja:

	<math>~~\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx~~ \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}~~</math>~~ = c^2 ~~<math>\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx~~ \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,-\Delta,t)}{(\Delta x)^2} </math>		<math>\frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,-\Delta,t)}{(\Delta x)^2} </math>