Dinâmica Molecular - Método das Caixas

Neste estudo, foi investigado o desempenho e a precisão de simulações de dinâmica molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones. Foram comparados dois métodos computacionais: o método tradicional, que calcula as interações e as forças entre todos os pares de partículas que estão presas em uma caixa bidimensional, e o método baseado em células, que otimiza os cálculos ao limitar o alcance das interações às células vizinhas. Ambos os métodos foram implementados em duas dimensões com condições periódicas de contorno (PBC).

Avaliamos o desempenho dos métodos analisando o tempo de execução em função do número de partículas. Os resultados mostram que o método baseado em células reduz significativamente o tempo de execução para sistemas grandes, demonstrando sua eficiência e reprodutibilidade. A conservação da energia, incluindo as energias cinética, potencial e total, foi validada para ambos os métodos ao longo do tempo, mostrando que o método mantém o significado físico da simulação.

INTRODUÇÃO

Inicialmente, o problema do tempo perdido em simulações normais de dinâmica molecular está relacionado ao crescimento do número de cálculos necessários conforme aumenta o número de partículas no sistema. Essa questão tem um impacto direto na eficiência e no tempo de execução de simulações, já que para cada par de partículas, é necessário calcular a distância relativa, aplicar o potencial desejado, e determinar a força resultante. Portanto, a parte temporal mais custosa na simulação está no calculo de forças, e na determinação da distância de cada partícula.

Para N partículas, temos $N={\frac {N(N-1)}{2}}$ pares de interação, e se tivermos um sistema com um número significativamente grande de partículas, o problema terá uma complexidade de $O(N^{2})$ . Essa dependência quadrática do número de partículas torna as simulações normais impraticáveis para sistemas com grande número de partículas $(N>10^{5})$ já que o tempo de execução cresce rapidamente. Além disso, são necessários recursos computacionais elevados para simulações maiores pois a demanda por processamento irá crescer cada vez mais, exigindo computadores mais potentes ou tempo de execução excessivo.

Portanto há a necessidade de diminuir a ordem para que o tempo seja menos custoso nas simulações. Para isso, existem diversos algorítmos e métodos que podem ser uteis, como o Método das Caixas, o Algorítmo de Edwald e PME, o Método de Multipolos Hierárquicos, e a Implementação Paralela. O objetivo deste trabalho é desenvolver o Método das Caixas, ou Método das Células, para a otimização das simulações.

Explicando o método

O princípio básico do método das caixas é diminuir o número de cálculos de forças de interação entre as partículas, já que em uma simulação normal é computado a interação de cada uma delas com todas as outras. Porém, como as forças de interação são geralmente de curto alcance, basta calculá-las entre cada partícula e seus vizinhos mais próximos. Para isso, podemos dividir o espaço da caixa em caixinhas quadradas de lado L que deve ser pelo menos igual ao raio de corte, que é a distância máxima em que as partículas ainda podem interagir. Dessa maneira, cada caixa pode ser identificada com um número correspondente, e cada caixa está associada também a uma lista de números que correspondem as partículas cujos centros ainda se encontram na caixa. As forças de interações de cada partícula será calculada apenas com as partículas da mesma célula e das células vizinhas.

Um algorítimo básico a ser seguido é o seguinte:

INICIALIZAR sistema com posições em grade e velocidades aleatórias CALCULAR número de células e criar listas de células

PARA cada passo de tempo:

   ATUALIZAR lista de células com partículas
   CALCULAR forças entre partículas (usando células e vizinhas)
   ATUALIZAR posições usando método de Verlet
   APLICAR condições periódicas
   RECOMPUTAR forças para novas posições
   ATUALIZAR velocidades
   CALCULAR energias cinética, potencial e total
   ARMAZENAR resultados para análise