Pêndulos Estocásticos

Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

Pêndulo Simples

Equação de movimento

Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento $l$, sem massa e rígida que contém uma massa $m$ pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é $-2b{\vec {v}}$, a equação de movimento é dada por:

${\ddot {\theta }}(t)=-{\frac {2b}{m}}{\dot {\theta }}-{\frac {g}{l}}sen(\theta )$

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em $m$, tal que sua componente tangencial ($F_{r}(t)$) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano $\xi (t)$ da seguinte forma

$F_{r}(t)=m\alpha \xi (t)$

em que $\alpha$ é a intensidade do ruído. $\xi (t)$ é caracterizado pelas seguintes propriedades:

$\langle \xi (t)\rangle =0,~~\langle \xi (t_{2})\xi (t_{1})\rangle =\delta (t_{2}-t_{1})$

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

${\ddot {\theta }}(t)=-{\frac {2b}{m}}{\dot {\theta }}-{\frac {g}{l}}sen(\theta )+{\frac {\alpha }{l}}\xi (t)$

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que $g=l=1$, então

${\ddot {\theta }}(t)=-2b{\dot {\theta }}-sen(\theta )+\alpha \xi (t)$

Método de integração

Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável $\omega :={\dot {\theta }}$, então ficamos com o seguinte sistema

${\begin{aligned}{\dot {\theta }}&=\omega \\{\dot {\omega }}&=-2b\omega -sen(\theta )+\alpha \xi (t)\end{aligned}}$

que pode ser escrito na forma diferencial

${\begin{aligned}d\theta &=\omega dt\\d\omega &=(-2b\omega -sen(\theta ))dt+\alpha \xi (t)dt\end{aligned}}$

mas $\xi (t)dt$ é o incremento do processo de Wiener ($W(t)=\int _{0}^{t}\xi (t')dt'$), então

${\begin{aligned}d\theta &=\omega dt\\d\omega &=(-2b\omega -sen(\theta ))dt+\alpha dW(t)\end{aligned}}$

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de $W(t)$ para $W(t+\Delta t)$ tem desvio padrão igual a ${\sqrt {\Delta t}}$

${\begin{aligned}\theta _{j+1}&=\theta _{j}+\omega _{j}\Delta t\\\omega _{j+1}&=\omega _{j}+(-2b\omega _{j}-sen(\theta _{j}))\Delta t+\alpha {R_{G}}_{j}{\sqrt {\Delta t}}\end{aligned}}$

em que $R_{G}$ é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para $\theta$) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

• Calcular um theta intermediário:

   $\theta _{j+1}^{(2)}=\theta _{j}+\omega _{j}\Delta t$

• Com $\theta _{j+1}^{(2)}$ calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:

   ${\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{j}&={\frac {\theta _{j+1}^{(2)}+\theta _{j}}{2}}\\\omega _{j+1}^{(2)}&=\omega _{j}+f({\bar {\theta }}_{j},\omega _{j},{R_{G}}_{j})\end{aligned}}$

Em que $f$ é a expressão do método de Euler visto logo acima.

• Recalcular theta utilizando um omega intermediário

   ${\begin{aligned}{\bar {\omega }}_{j}&={\frac {\omega _{j+1}^{(2)}+\omega _{j}}{2}}\\\theta _{j+1}&=\theta _{j}+{\bar {\omega }}_{j}\Delta t\end{aligned}}$

• Recalcular omega com um theta intermediário atualizado

   ${\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{j}^{(2)}&={\frac {\theta _{j+1}+\theta _{j}}{2}}\\\omega _{j+1}&=\omega _{j}+f({\bar {\theta }}_{j}^{(2)},{\bar {\omega }}_{j},{R_{G}}_{j})\end{aligned}}$

OBS: No cálculo de $\omega _{j+1}^{(2)}$ e $\omega _{j+1}$ foi utilizado o mesmo ${R_{G}}_{j}$.

Energia (Sem amortecimento)

Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo ($E$), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando $\beta =0$. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável ($\theta (0)=0,~\omega (0)=0$) com $\alpha =0.1$

Pêndulo partindo do repouso com ruído.

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de $\alpha$:

• Utilizando $\Delta t=0.01$, integrar o sistema até $t_{f}=100$, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado $\alpha$ utilizado

Energia média em função tempo.

O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.

• Realizar um ajuste linear nos dados $\langle E\rangle _{t}\times t$ para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (${\bar {P}}$).

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico ${\bar {P}}\times \alpha$. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência ${\bar {P}}=ae^{b\alpha }$, então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente $b$, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

Potência em função do ruído ($\alpha$). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.

Portanto, ${\bar {P}}$ aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com $\alpha$. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para $\alpha$ muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com $\alpha =5\cdot 10^{-4}$ e os resultados foram comparados com $\alpha =0$

Energia média para $\alpha$ muito pequeno comparado com $\alpha$ nulo.

Energia (Com amortecimento)

Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando $\beta =0.1$ e $\alpha =0.485$ foi obtido o seguinte resultado

Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de $\beta =0.01,0.1,0.2$:

• Para diversos valores de $\alpha$, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
• Para cada conjunto de dados gerados por um determinado $\alpha$, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média ($\langle E\rangle$).

Produzindo o gráfico de $\langle E\rangle \times \alpha$ obtemos

Energia estabilizada média em função de $\alpha$ para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma $\langle E\rangle =a\alpha ^{b}$. Para $\beta =0.1$ os dados utilizados no ajuste foram apenas até $\alpha =0.6$ (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de $\beta$, serem aproximadamente 2.

Pêndulo invertido

O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é ${\frac {k}{2}}\theta ^{2}$, sendo que agora $\theta$ é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.

Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

${\ddot {\theta }}={\frac {-2b}{m}}{\dot {\theta }}+{\frac {1}{l}}(g+{\ddot {u}})sen(\theta )-{\frac {k}{m}}\theta$

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de $u$ e o último provém da "mola" em $\theta$. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que ${\ddot {u}}(t)=\alpha \xi (t)$. Introduzindo a variável $\omega :={\dot {\theta }}$, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

${\begin{aligned}d\theta &=\omega dt\\d\omega &=({\frac {-2b}{m}}\omega +{\frac {g}{l}}sen(\theta )-{\frac {k}{m}}\theta )dt+sen(\theta ){\frac {\alpha }{l}}\overbrace {dW(t)} ^{\xi (t)dt}\end{aligned}}$

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um $\theta$ médio no argumento do seno que multiplica $dW$

${\begin{aligned}\theta _{j+1}&=\theta _{j}+\omega _{j}\Delta t\\{\bar {\theta }}_{j}&=(\theta _{j+1}+\theta _{j})/2\\\omega _{j+1}&=\omega _{j}+({\frac {-2b}{m}}\omega _{j}+{\frac {g}{l}}sen({\bar {\theta }}_{j})-{\frac {k}{m}}{\bar {\theta }}_{j})\Delta t+sen({\bar {\theta }}_{j}){\frac {\alpha }{l}}{R_{G}}_{j}{\sqrt {\Delta t}}\end{aligned}}$

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração $\theta _{0}=\omega _{0}=0$ quando é adicionado ruído e amortecimento. Se $k$ é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial $\theta _{0}=10^{-4},\omega _{0}=0$, com valores de $\alpha$ muito próximos:

os seguintes valores foram utilzados

• g = l = 1
• k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com $\alpha =1$ para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.

Pêndulo Duplo

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

Pêndulo Duplo não estocástico.

Equação de movimento

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ como as variáveis generalizadas e são dadas por:

${\ddot {\theta }}_{1}={\frac {-g(2m_{1}+m_{2})\sin {\theta _{1}}-m_{2}g(\theta _{1}-2\theta _{2})-2\sin {(\theta _{1}-\theta _{2})}m_{2}({\dot {\theta _{2}}}^{2}l_{2}+{\dot {\theta _{1}}}^{2}l_{1}\cos {(\theta _{1}-\theta _{2})})}{l_{1}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos {(2\theta _{1}-2\theta _{2})})}}$

${\ddot {\theta }}_{2}={\frac {2\sin {(\theta _{1}-\theta _{2})}({\dot {\theta _{1}}}^{2}l_{1}(m_{1}+m_{2})+g(m_{1}+m_{2})\cos {\theta _{1}}+{\dot {\theta _{2}}}^{2}l_{2}m_{2}\cos {(\theta _{1}-\theta _{2})})}{l_{2}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos {(2\theta _{1}-2\theta _{2})})}}$

Mantendo $m_{1}$, $m_{2}$, $l$, e $g$ fixos, defina :

$f_{1}(\theta _{1},{\dot {\theta _{1}}},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}}):={\frac {-g(2m_{1}+m_{2})\sin {\theta _{1}}-m_{2}g(\theta _{1}-2\theta _{2})-2\sin {(\theta _{1}-\theta _{2})}m_{2}({\dot {\theta _{2}}}^{2}l_{2}+{\dot {\theta _{1}}}^{2}l_{1}\cos {(\theta _{1}-\theta _{2})})}{l_{1}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos {(2\theta _{1}-2\theta _{2})})}}$

$f_{2}(\theta _{1},{\dot {\theta _{1}}},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}}):={\frac {2\sin {(\theta _{1}-\theta _{2})}({\dot {\theta _{1}}}^{2}l_{1}(m_{1}+m_{2})+g(m_{1}+m_{2})\cos {\theta _{1}}+{\dot {\theta _{2}}}^{2}l_{2}m_{2}\cos {(\theta _{1}-\theta _{2})})}{l_{2}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos {(2\theta _{1}-2\theta _{2})})}}$

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

${\ddot {\theta }}_{1}=f_{1}(\theta _{1},{\dot {\theta _{1}}},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}})$

${\ddot {\theta }}_{2}=f_{2}(\theta _{1},{\dot {\theta _{1}}},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}})$

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre $m_{1}$ tal que, $F_{1}^{r}=\sigma _{1}\xi _{1}(t)$, onde $\sigma _{1}$ além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para $m_{1}$. Assim as equações de movimento se tornam:

${\ddot {\theta }}_{1}=f_{1}(\theta _{1},{\dot {\theta _{1}}},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}})+\sigma _{1}\xi _{1}(t)$

${\ddot {\theta }}_{2}=f_{2}(\theta _{1},{\dot {\theta _{1}}},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}})+\sigma _{2}\xi _{2}(t)$

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

Método de integração

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja $\omega _{i}={\dot {\theta _{i}}}$, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

${\begin{aligned}\omega _{1}&={\dot {\theta _{1}}}\\{\dot {\omega }}_{1}&=f_{1}(\theta _{1},\omega _{1},\theta _{2},\omega _{2})+\sigma _{1}\xi _{1}(t)\\\omega _{2}&={\dot {\theta _{2}}}\\{\dot {\omega }}_{2}&=f_{2}(\theta _{1},\omega _{1},\theta _{2},\omega _{2})+\sigma _{2}\xi _{2}(t)\end{aligned}}$

na forma diferencial:

${\begin{aligned}\omega _{1}dt&=d{\theta _{1}}\\d\omega _{1}&=f_{1}(\theta _{1},\omega _{1},\theta _{2},\omega _{2})dt+\sigma _{1}dW_{1}(t)\\\omega _{2}dt&=d{\theta _{2}}\\d\omega _{2}&=f_{2}(\theta _{1},\omega _{1},\theta _{2},\omega _{2})dt+\sigma _{2}dW_{2}(t)\end{aligned}}$

onde $dW_{i}(t)=\xi _{i}(t)dt$ é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

${\begin{aligned}k_{1}^{\theta _{1}}&=dt\cdot \omega _{1}^{n}\\k_{1}^{\omega _{1}}&=dt\cdot f_{1}(\theta _{1}^{n},\omega _{1}^{n},\theta _{2}^{n},\omega _{2}^{n})\\k_{2}^{\theta _{1}}&=dt\cdot (\omega _{1}^{n}+k_{1}^{\omega _{1}}/2)\\k_{2}^{\omega _{1}}&=dt\cdot f_{1}(\theta _{1}^{n}+k_{1}^{\theta _{1}}/2,\omega _{1}^{n}+k_{1}^{\omega _{1}}/2,\theta _{2}^{n},\omega _{2}^{n})\\k_{3}^{\theta _{1}}&=dt\cdot (\omega _{1}^{n}+k_{2}^{\omega _{1}}/2)\\k_{3}^{\omega _{1}}&=dt\cdot f_{1}(\theta _{1}^{n}+k_{2}^{\theta _{1}}/2,\omega _{1}^{n}+k_{2}^{\omega _{1}}/2,\theta _{2}^{n},\omega _{2}^{n})\\k_{4}^{\theta _{1}}&=dt\cdot (\omega _{1}^{n}+k_{3}^{\omega _{1}})\\k_{4}^{\omega _{1}}&=dt\cdot f_{1}(\theta _{1}^{n}+k_{3}^{\theta _{1}},\omega _{1}^{n}+k_{3}^{\omega _{1}},\theta _{2}^{n},\omega _{2}^{n})\\\theta _{1}^{n+1}&=\theta _{1}^{n}+(k_{1}^{\theta _{1}}+2k_{2}^{\theta _{1}}+2k_{3}^{\theta _{1}}+k_{4}^{\theta _{1}})/6\\\omega _{1}^{n+1}&=\omega _{1}^{n}+(k_{1}^{\omega _{1}}+2k_{2}^{\omega _{1}}+2k_{3}^{\omega _{1}}+k_{4}^{\omega _{1}})/6+\sigma _{1}R_{Gn}{\sqrt {dt}}\end{aligned}}$

é completamente análogo para $\omega _{2}$ e $\theta _{2}$. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de $10^{-4}$, o que se espera de um método de quarta ordem.

Retrato de fase

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo $\theta$ e a velocidade angular $\omega$ no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

Caso 1 : Ruído em θ₁

Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em $\theta _{1}$, $\sigma =0.5$ e $dt=0.01$.

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de $\theta _{1}$ e $\omega _{1}$. O retrato de fase para $\theta _{1}$ versus $\omega _{1}$ mostra uma dispersão maior em comparação com $\theta _{2}$ versus $\omega _{2}$, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

Caso 2 : Ruído em θ₂

Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em $\theta _{2}$, $\sigma =0.5$ e $dt=0.01$.

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, $\theta _{2}$ e $\omega _{2}$ exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto $\theta _{1}$ versus $\omega _{1}$ pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de $\theta _{2}$ para $\theta _{1}$.

Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂

Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$, $\sigma =0.5$ e $dt=0.01$.

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$ serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$.

Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂

Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$, $\sigma =0.5$ e $dt=0.01$.

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de $\theta _{1}$ versus $\omega _{1}$ e $\theta _{2}$ versus $\omega _{2}$ podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

Energia

Vamos analisar a como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com diferentes sistemas com ruído aditivo. Nas simulações sempre utilizamos $m_{1}$, $m_{2}$, $l$ como unitários, além disso note que nas equações dinâmicas foram definidos dois ruídos distintos assim como duas intensidade distintas, foi feito assim pois os termos que estão sendo agrupados junto da intensidade do ruído não são iguais para as duas equações, então em geral, essas intensidades são distintas.