Pêndulos Estocásticos: mudanças entre as edições
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O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local | O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de <math>u</math> e o último provém da "mola" em <math>\theta </math>. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode ser movimentar de forma aleatória na direção vertical, suponde que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que <math>\ddot u(t) = \alpha \xi(t)</math>. Introduzindo a variável <math>\omega := \dot \theta</math>, ficamos com o seguinte sistemas de equações na forma diferencial | ||
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Edição das 09h49min de 21 de agosto de 2024
Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.
Pêndulo Simples
Equação de movimento
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento , sem massa e rígida que contém uma massa pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.
Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é , a equação de movimento é dada por:
Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em , tal que sua componente tangencial () pode ser modelada por um ruído branco gaussiano da seguinte forma
em que é a intensidade do ruído. é caracterizado pelas seguintes propriedades:
Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com
A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que , então
Método de integração
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável , então ficamos com o seguinte sistema
que pode ser escrito na forma diferencial
mas é o incremento do processo de Wiener (), então
Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de para tem desvio padrão igual a
em que é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:
- Calcular um theta intermediário:
- Com calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
- Em que é a expressão do método de Euler visto logo acima.
- Recalcular theta utilizando um omega intermediário
- Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
- OBS: No cálculo de e foi utilizado o mesmo .
Energia (Sem amortecimento)
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando . Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável () com
Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de :
- Utilizando , integrar o sistema até , calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado utilizado
- O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.
- Realizar um ajuste linear nos dados para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído ().
Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico . Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência , então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente , a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:
Portanto, aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com . Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com e os resultados foram comparados com
Energia (Com amortecimento)
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando e foi obtido o seguinte resultado
claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de :
- Para diversos valores de , executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
- Para cada conjunto de dados gerados por um determinado , selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média ().
Produzindo o gráfico de obtemos
as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma . Para os dados utilizados no ajuste foram apenas até (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de , serem aproximadamente 2.
Pêndulo invertido
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é , sendo que agora é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir
Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é
O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de e o último provém da "mola" em . Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode ser movimentar de forma aleatória na direção vertical, suponde que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que . Introduzindo a variável , ficamos com o seguinte sistemas de equações na forma diferencial
Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um médio no argumento do seno que multiplica
Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.
Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração quando é adicionado ruído e amortecimento. Se é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial , com valores de muito próximos:
os seguintes valores foram utilzados
- g = l = 1
- k = 1.1
No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido