Pêndulos Estocásticos: mudanças entre as edições
| Linha 53: | Linha 53: | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
\dot \theta &= \omega \\ | \dot \theta &= \omega \\ | ||
\dot \omega &= -2b\ | \dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t) | ||
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</math> | </math> | ||
| Linha 64: | Linha 64: | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
d\theta &= \omega dt \\ | d\theta &= \omega dt \\ | ||
d\omega &= (-2b\ | d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt | ||
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</math> | </math> | ||
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mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então | |||
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d\theta &= \omega dt \\ | |||
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t) | |||
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Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math> | |||
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\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\ | |||
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t} | |||
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em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação. | |||
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos: | |||
* Calcular um theta intermediário: | |||
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math> | |||
* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário: | |||
<math> | |||
\begin{aligned} | |||
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\ | |||
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j) | |||
\end{aligned} | |||
</math> | |||
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima. | |||
* Recalcular theta utilizando um omega intermediário | |||
<math> \begin{aligned} | |||
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\ | |||
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t | |||
\end{aligned} </math> | |||
* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado | |||
<math> | |||
\begin{aligned} | |||
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\ | |||
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j) | |||
\end{aligned} | |||
</math> | |||
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>. | |||
Edição das 17h15min de 18 de agosto de 2024
Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.
Pêndulo Simples
Equação de movimento
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} , sem massa e rígida que contém uma massa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.
Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2b\vec v} , a equação de movimento é dada por:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) }
Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_r(t)} ), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)} da seguinte forma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_r(t) = m \alpha \xi(t) }
em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} é a intensidade do ruído. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)} é caracterizado pelas seguintes propriedades:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle \xi(t) \rangle = 0,~~ \langle \xi(t_2)\xi(t_1) \rangle = \delta(t_2 -t_1) }
Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot \theta(t) = -\frac{2b}{m}\dot \theta - \frac{g}{l}sen(\theta) + \frac{\alpha}{l}\xi(t) }
A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g = l = 1 } , então
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ddot \theta(t) = -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t) }
Método de integração
Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega := \dot \theta } , então ficamos com o seguinte sistema
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} \dot \theta &= \omega \\ \dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t) \end{aligned} }
que pode ser escrito na forma diferencial
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} d\theta &= \omega dt \\ d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt \end{aligned} }
mas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)dt} é o incremento do processo de Wiener (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' } ), então
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} d\theta &= \omega dt \\ d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t) \end{aligned} }
Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W(t)} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W(t+\Delta t)} tem desvio padrão igual a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{\Delta t}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} \theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\ \omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t} \end{aligned} }
em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_G} é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta } ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:
- Calcular um theta intermediário:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t }
- Com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta^{(2)}_{j+1} } calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} \bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\ \omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j) \end{aligned} }
- Em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} é a expressão do método de Euler visto logo acima.
- Recalcular theta utilizando um omega intermediário
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} \bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\ \theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t \end{aligned} }
- Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{aligned} \bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\ \omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j) \end{aligned} }
- OBS: No cálculo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega^{(2)}_{j+1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_{j+1}} foi utilizado o mesmo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {R_G}_j} .