Lançamento Oblíquo Estocástico

O lançamento oblíquo é um clásico problema da mecanica, onde um projétil e lançado com velocidade inicial $v$ em uma direção que faz um angulo $\theta$ com a horizontal. Nesse casso iremos considerar o movimento com arrasto em que a força de resistencia do ar é oposta ao movimento e proporcional a velocidade

$F_{Ar}=-kmv$

O objetivo é descrever o movimento do projétil em duas dimensões, levando em consideração tanto a força da gravidade quanto a resistência do ar então adicionar um termo de ruido no sistema e analizar seu comportamento.

Equações de Movimento

Começamos decompondo as velocidades nas direções x e y

$v_{x}=v\cos(\theta )$

$v_{y}=v\sin(\theta )$

Para as equações de movimento usamos a segunda lei de Newton nas componentes horizontais

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kmv_{x}$

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg-kmv_{y}$

Introduzindo $v_{x}={\frac {dx}{dt}}$ e $v_{y}={\frac {dy}{dt}}$ podemos reescrever as equações como diferenciais de primeira ordem.

${\frac {dv_{x}}{dt}}=-kv_{x}$

${\frac {dv_{y}}{dt}}=-g-kv_{y}$

Essas E.D. possuem solução analitica bastando integrar nos limites adequados.