Equação de Liouville-Bratu-Gelfand: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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==Formas radialmente simétricas==


Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em <math>n</math> dimensões torna-se


:<math>\psi'' + \frac{n-1}{r}\psi' + \lambda e^\psi=0</math>


where
onde <math>r</math> é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno
f(z)=u+iv
is an arbitrary analytic function with
z=x+iy
. In 1915, G.W. Walker found a solution by assuming a form for
f(z)
. If
r2=x2+y2
, then Walker's solution is


8e−ψ=λ[(ra)n+(ar)n]2
:<math>\psi'(0)=0, \quad \psi(1) = 0</math>


where
e para <math>\lambda\geq 0</math>, uma solução real existe apenas para <math>\lambda \in [0,\lambda_c]</math>, onde <math>\lambda_c</math> é o parâmetro crítico chamado de [[Teoria de Frank-Kamenetskii|'''parâmetro de Frank-Kamenetskii''']]. O parâmetro crítico é <math>\lambda_c=0.8785</math> para <math>n=1</math>, <math>\lambda_c=2</math> para <math>n=2</math> e <math>\lambda_c=3.32</math> para <math>n=3</math>. Para <math>n=1, \ 2</math>, existem duas soluções e para <math>3\leq n\leq 9</math> existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto <math>\lambda=2(n-2)</math>. Para <math>n\geq 10</math>, a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por <math>\lambda_c=2(n-2)</math>. A multiplicidade de soluções para <math>n=3</math> foi descoberta por [[Israel Gelfand]] em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os <math>n</math> por [[Daniel D. Joseph]] e [[Thomas S. Lundgren]].<ref>Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.</ref>
a
is some finite radius. This solution decays at infinity for any
n
, but becomes infinite at the origin for
n<1
, becomes finite at the origin for
n=1
and becomes zero at the origin for
n>1
. Walker also proposed two more solutions in his 1915 paper.


Radially symmetric forms
A solução para <math>n=1</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,0.8785]</math> é dada por


If the system to be studied is radially symmetric, then the equation in
:<math>\psi = -2 \ln \left[e^{-\psi_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}r\right)\right]</math>
n
dimension becomes


ψ″+n−1rψ′+λeψ=0
onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como


where
:<math>e^{\psi_m/2} = \cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt 2}e^{-\psi_m/2}\right).</math>
r
is the distance from the origin. With the boundary conditions


ψ′(0)=0,ψ(1)=0
A solução para <math>n=2</math> que é válida no intervalo <math>\lambda \in [0,2]</math> é dada por


and for
:<math>\psi = \ln \left[\frac{64e^{\psi_m}}{(\lambda e^{\psi_m}r^2+8)^2}\right]</math>
λ≥0
, a real solution exists only for
λ∈[0,λc]
, where
λc
is the critical parameter called as Frank-Kamenetskii parameter. The critical parameter is
λc=0.8785
for
n=1
,
λc=2
for
n=2
and
λc=3.32
for
n=3
. For
n=1, 2
, two solution exists and for
3≤n≤9
  infinitely many solution exists with solutions oscillating about the point
λ=2(n−2)
. For
n≥10
, the solution is unique and in these cases the critical parameter is given by
λc=2(n−2)
. Multiplicity of solution for
n=3
was discovered by Israel Gelfand in 1963 and in later 1973 generalized for all
n
by Daniel D. Joseph and Thomas S. Lundgren.


The solution for
onde <math>\psi_m=\psi(0)</math> está relacionada a <math>\lambda</math> como
n=1
that is valid in the range
λ∈[0,0.8785]
is given by


ψ=−2ln⁡[e−ψm/2cosh⁡(λ2e−ψm/2r)]
:<math> (\lambda e^{\psi_m}+8)^2 - 64 e^{\psi_m} =0.</math>
 
where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as
 
eψm/2=cosh⁡(λ2e−ψm/2).
 
The solution for
n=2
that is valid in the range
λ∈[0,2]
is given by
 
ψ=ln⁡[64eψm(λeψmr2+8)2]
 
where
ψm=ψ(0)
is related to
λ
as
 
(λeψm+8)2−64eψm=0.
</source><br />


== Método de Relaxação ==
== Método de Relaxação ==

Edição das 16h08min de 20 de junho de 2024

Equação de Liouville-bratu-Gelfand

Na matemática, a Equação Liouville–Bratu–Gelfand ou Equação de Liouville é uma equação de Poisson não linear, nomeada em homenagem aos matemáticos Joseph Liouville, Gheorghe Bratu e Israel Gelfand, que é descrita da seguinte forma

Essa equação aparece em problemas de fuga térmica, como na teoria de Frank-Kamenetskii, e na astrofísica, por exemplo, na equação Emden–Chandrasekhar. Esta equação pode descrever a carga espacial de eletricidade em torno de um fio brilhante ou até mesmo uma nebulosa planetária.

A solução de Liouville

Em duas dimensões, com coordenadas cartesianas (x,y), Joseph Liouville propôs uma solução em 1853 como

onde é uma função analítica arbitrária com . Em 1915, G.W. Walker[1] encontrou uma solução assumindo uma forma para . Se , então a solução de Walker é

onde é algum raio finito. Essa solução vai ao infinito para qualquer , mas vai ao infinito na origem , finito na origem para e vai a zero na origem para . Walker também propôs mais duas soluções em seu artigo de 1915.


Formas radialmente simétricas

Se o sistema a ser estudado for radialmente simétrico, então a equação em dimensões torna-se

onde é a distância a partir da origem. Com as condições de contorno

e para , uma solução real existe apenas para , onde é o parâmetro crítico chamado de parâmetro de Frank-Kamenetskii. O parâmetro crítico é para , para e para . Para , existem duas soluções e para existem infinitas soluções com as soluções oscilando em torno do ponto . Para , a solução é única e, nesses casos, o parâmetro crítico é dado por . A multiplicidade de soluções para foi descoberta por Israel Gelfand em 1963 e, posteriormente, em 1973, generalizada para todos os por Daniel D. Joseph e Thomas S. Lundgren.[2]

A solução para que é válida no intervalo é dada por

onde está relacionada a como

A solução para que é válida no intervalo é dada por

onde está relacionada a como

Método de Relaxação

Como a equação de Liouville-Bratu-Gelfand não depende do tempo, é necessária uma aproximação para uma equação similar dependente do tempo para resolvê-la numericamente aplicando o método de FTCS (Foward Time Central Space). Fazendo então a solução dessa equação convergir ao estado estacionário diante de uma evolução temporal longa o suficiente ().

Utilizando uma equação da difusão genérica chegamos na seguinte forma:

.

Onde é a constante de difusão. Assim é possível aplicar essa equação no método de Jacobi, método numérico de relaxação.

Referências

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%E2%80%93Bratu%E2%80%93Gelfand_equation
  2. Scherer, CLÁUDIO. Métodos Computacionais da Física. 2010.
  1. Walker, George W. "Some problems illustrating the forms of nebulae." Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 91.631 (1915): 410-420.https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
  2. Joseph, D. D., e T. S. Lundgren. "Quasilinear Dirichlet problems driven by positive sources." Archive for Rational Mechanics and Analysis 49.4 (1973): 241-269.