Equação de Ginzburg-Landau complexa

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) é uma das equações não lineares mais estudadas da física. Ela oferece uma descrição geral de sistemas com uma fraca dependência não linear. Quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial A}{\partial t} = (1+ic_1)\nabla^2 A + A - (1-ic_3) A|A|^2. }

Em especial, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1 = 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_3 = 0} , ela se reduz para a equação de Ginzburg-Landau real. E, para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_1 \rightarrow + \infty } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_3 \rightarrow + \infty} , ela se reduz à equação de Schrödinger não linear. Ela descreve uma variedade enorme de fenômenos, como:

• Ondas não lineares;
• Transições de fase de segunda ordem;
• Supercondutividade;
• Superfluidez;
• Condensado de Bose-Einstein.

Dedução

Figura 1 - Espaço de fase do oscilador harmônico. Fonte - Cross, M., & Greenside, H. (2009)

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é a energia, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} a coordenada e seu respectivo momento, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} é a massa e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_0} a frequência angular

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q^2. }

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q \rightarrow q/m^{1/2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p \rightarrow p m^{1/2}} , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega_0 q} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q^2. }

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} é a amplitude e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} a fase

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0. }

Define-se, então, a variável complexa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = R e^{i \phi}} , portanto a equação acima pode ser reescrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{A} = i \omega_0 A. }

Ao realizar a transformação de variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \rightarrow A e^{i \chi}} , com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi \in \mathbb{R}} , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} tal que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{A} = i \omega_0 A + f(A, A^*) }

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \rightarrow A e^{i \chi}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^* \rightarrow A^* e^{-i \chi}} , a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} deve satisfazer

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi}, }

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} em potências de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^*} até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i} }

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = R e^{i\phi}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2. }

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi = \varphi + \omega_0 t} . As novas equações obtidas são

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2. }

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{R} = 0} na equação, o que resulta na solução trivial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(est)} = 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}} . Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{1r}} e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{2r}} devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{1r} < 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{2r} > 0} , pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{1r} = \mu \sigma_1} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_1 > 0} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{2i} = \mu \omega_1} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{2r} = -g_r} com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_r > 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_{2i} = - g_i} . Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

${\dot {A}}=\mu (\sigma _{1}+\omega _{1})A-(g_{r}+ig_{i})|A|^{2}A$

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, $(d_{r}+id_{i})\nabla ^{2}A$, cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de $A$ no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

${\frac {\partial A}{\partial t}}=(1+ic_{1})\nabla ^{2}A+A-(1-ic_{3})A|A|^{2}.$

Método FTCS

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da CGLE em duas dimensões: ${\frac {\partial A}{\partial t}}=\alpha ({\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}})+A-\beta A|A|^{2}.$

para

$\alpha =(1+ic_{1});\beta =(1-ic_{3})$

Aplicamos o método da seguinte maneira: ${\frac {A(x,y,t+\Delta t)-A(x,y,t)}{\Delta t}}=\alpha ({\frac {A(x+\Delta x,y,t)-2*A(x,y,t)+A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}+{\frac {A(x,y+\Delta y,t)-2*A(x,y,t)+A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}})+A(x,y,t)-\beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^{2}.$

${\frac {A_{i,j}^{N+1}-A_{i,j}^{N}}{\Delta t}}=\alpha ({\frac {A_{i+1,j}^{N}-2*A_{i,j}^{N}+A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {A_{i,j+1}^{N}-2*A_{i,j}^{N}+A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^{2}}})+A_{i,j}^{N}-\beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^{2}.$

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y ($\Delta y=\Delta x$), chegamos em : $A_{i,j}^{N+1}=A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta |A_{i,j}|^{2}))+{\frac {\Delta t\alpha }{\Delta x^{2}}}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1}-4*A_{i,j})$

Figura 2 - Condições de contorno periódicas em duas dimensões.

Para as condições de contorno foram utilizados condições periódicas tal que na região de x usamos que quando

i=L+1 estaremos em i=1.

e para y, da mesma forma,

j=L+1 temos que j=1.

A figura 2 é a representação gráfica dessas condições.

Soluções

A partir da variação dos parâmetros c1 e c3 temos regiões que implicam em diferentes soluções para a CGLE, nossa ideia central foi começar com condição inicial de onda plana, que em teoria tende a se manter como onda plana, e perturba essa solução, dependendo da região em que estamos no diagrama de fase a perturbação nos leva para diferentes tipos de solução sendo as principais:

1. Soluções de onda plana estável
2. Soluções de onda plana instável

que são delimitadas pela condição de Benjamin-Feir-Newell, que descreve a linha BFN no diagrama de fase

condição de instabilidade de onda plana 1 - c1*c3 < 0 Linha Benjamin-Feir-Newell

condição tipos de espirais -(c3 + c1)/(1 -c1*c3) = 0.845 Linha OR, interação entre espirais.

esquerda de T dinâmico turbulento, direita "congelado".

L limite da turbulência de fase

Eckhaus-stability boundary EI

boundary of absolute stability AI

Figura 3 - Diagrama de fase para soluções da CGLE [3].

Figura 4 -.

Figura 5 - .

Figura 5 - .

Referências

[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation

[4] Cross, M., & Greenside, H. (2009). Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press.

[5] Hugues Chaté, Paul Manneville (1996). Phase diagram of the two-dimensional complex Ginzburg-Landau equation. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications