Equação de Dirac

Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller

Introdução

A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin $\frac{1}{2}$, como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.

A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.

Assim como a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)=H\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)$

onde, como anteriormente, os autovalores de $H$ correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.

A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:

$E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$

Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.

Diferentemente da equação de Schrödinger, aqui $\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)$ não representa apenas uma função de onda, mas sim um conjunto de quatro delas. Usando a notação

$\mathrm{\Psi }=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_2\\ {\mathrm{\Phi }}_3\\ {\mathrm{\Phi }}_4\end{array}\right]$,

as componentes de $\mathrm{\Psi }$ representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: ${\mathrm{\Phi }}_1$ (${\mathrm{\Phi }}_2$) representa a função de onda do elétron com spin up (down), e ${\mathrm{\Phi }}_3$ (${\mathrm{\Phi }}_4$) representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto $\mathrm{\Psi }(\mathit{x},t)$ é chamado de spinor.

Dedução da equação de Dirac em duas dimensões

Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em duas dimensões, $x$ e $y$. A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema.

Construção do Hamiltoniano completo

Consideremos uma partícula sob ação de um potencial $V(\mathit{x};t)$ (onde $\mathit{x}=(x,y,z{)}^T$), que afeta a energia potencial da partícula, e de um potencial "escalar" $V_{sc}(\mathit{x};t)$, que afeta a massa de repouso da mesma. Seguindo uma das propostas possíveis para o Hamiltoniano, temos

$H=c\mathit{\alpha }\cdot \mathit{p}+\beta (m{c}^2+V_{sc})+V{I}_4$

onde $\mathit{\alpha }={\alpha }_x\hat{i}+{\alpha }_y\hat{j}+{\alpha }_z\hat{k}$; ${\alpha }_i$ e $\beta$ são matrizes 4x4 adimensionais e $\mathit{p}$ é o vetor momento linear da partícula.

Pode-se mostrar que $\mathit{\alpha }$ e $\beta$ devem satisfazer certos vínculos, limitando as escolhas possíveis para essas matrizes. A escolha mais simples e usualmente adotada consiste em tomar

$\beta =\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

${\alpha }_x=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_x\\ {\sigma }_x& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\alpha }_y=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_y\\ {\sigma }_y& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& -i& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\alpha }_z=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }_z\\ {\sigma }_z& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)$

Sendo $\mathit{p}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$, podemos escrever o produto escalar $\mathit{\alpha }\cdot \mathit{p}$ como

$\mathit{\alpha }\cdot \mathit{p}=-i\hslash ({\alpha }_x\frac{\partial }{\partial x}+{\alpha }_y\frac{\partial }{\partial y}+{\alpha }_z\frac{\partial }{\partial z})$

Portanto, em notação matricial o Hamiltoniano $H$ pode ser escrito como

$H=-i\hslash c\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \frac{\partial }{\partial z}& \frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& 0& \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}& -\frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{\partial }{\partial z}& \frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}& 0& 0\\ \frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}& -\frac{\partial }{\partial z}& 0& 0\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}V+m{c}^2+V_{sc}& 0& 0& 0\\ 0& V+m{c}^2+V_{sc}& 0& 0\\ 0& 0& V-m{c}^2-V_{sc}& 0\\ 0& 0& 0& V-m{c}^2-V_{sc}\\ \end{array}\right)$ $H=\left(\begin{array}{cccc}V+m{c}^2+V_{sc}& 0& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}-\hslash c\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& V+m{c}^2+V_{sc}& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}+\hslash c\frac{\partial }{\partial y}& i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}\\ -i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}& -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}-\hslash c\frac{\partial }{\partial y}& V-m{c}^2-V_{sc}& 0\\ -i\hslash c\frac{\partial }{\partial x}+\hslash c\frac{\partial }{\partial y}& i\hslash c\frac{\partial }{\partial z}& 0& V-m{c}^2-V_{sc}\\ \end{array}\right)$

Unidades naturais e redução para duas dimensões

A fim de simplificar o formalismo, adotamos as chamadas "unidades naturais", onde $\hslash =c=m=1$. Note que isso equivale a reescalar as quantidades físicas do problema por um fator adequado. Ao fazer $c=1$, também assumimos que a partícula está no limite relativístico.

Além disso, queremos estudar o problema em duas dimensões. Observamos que $\mathrm{\Psi }(x,y,z)=\mathrm{\Psi }(x,y)$; logo, $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial z}=0$. Portanto, temos o Hamiltoniano simplificado

$H=\left(\begin{array}{cccc}V+1+V_{sc}& 0& 0& -i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& V+1+V_{sc}& -i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& 0\\ 0& -i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}& V-1-V_{sc}& 0\\ -i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& 0& 0& V-1-V_{sc}\\ \end{array}\right)$

Forma explícita final

Retornando ao problema original, queremos resolver

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=H\mathrm{\Psi }\to [i{I}_4\frac{\partial }{\partial t}-H]\mathrm{\Psi }=0$

Novamente utilizando a notação matricial, obtemos

$\left(\begin{array}{cccc}i\frac{\partial }{\partial t}-V-V_{sc}-1& 0& 0& i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\\ 0& i\frac{\partial }{\partial t}-V-V_{sc}-1& i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}& 0\\ 0& i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}& i\frac{\partial }{\partial t}-V+V_{sc}+1& 0\\ i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}& 0& 0& i\frac{\partial }{\partial t}-V+V_{sc}+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_2\\ {\mathrm{\Phi }}_3\\ {\mathrm{\Phi }}_4\end{array}\right)=0$

Realizando a multiplicação matricial, pode-se ver que se obtém dois sistemas acoplados: ${\mathrm{\Phi }}_1$ com ${\mathrm{\Phi }}_4$ e ${\mathrm{\Phi }}_2$ com ${\mathrm{\Phi }}_3$. Escolhendo o sistema de ${\mathrm{\Phi }}_1$ com ${\mathrm{\Phi }}_4$:

$\{\begin{array}{l}(i\frac{\partial }{\partial t}-V-V_{sc}-1){\mathrm{\Phi }}_1+(i\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}){\mathrm{\Phi }}_4=0\\ (i\frac{\partial }{\partial x}-\frac{\partial }{\partial y}){\mathrm{\Phi }}_1+(i\frac{\partial }{\partial t}-V+V_{sc}+1){\mathrm{\Phi }}_4=0\end{array}$

Simplificando e isolando a derivada temporal, obtemos por fim

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial t}=-i(V+V_{sc}+1){\mathrm{\Phi }}_1-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_4}{\partial x}+i\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_4}{\partial y}\\ \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_4}{\partial t}=-i(V-V_{sc}-1){\mathrm{\Phi }}_4-\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial x}-i\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_1}{\partial y}\end{array}$

Discretização

A equação de Dirac 1D pode ser escrita, na forma matricial, como:

$i{\partial }_t\mathrm{\Phi }=[-i{\sigma }_1{\partial }_x+{\sigma }_3]\mathrm{\Phi }+[V(t,x)I_2]\mathrm{\Phi }$

Onde $\mathrm{\Phi }=({\varphi }_1,{\varphi }_4{)}^T$ e $I_2$ é matriz identidade de dimensão 2.\\ Para discretizar uma equação diferencial parcial como essa, é necessário discretizar o espaço e o tempo. Convenciona-se $\mathrm{\Delta }t$ como um passo finito de tempo e $h$ como um passo finito no espaço, de tal forma que $x_j=x_0+jh,t_n=t_0+n\mathrm{\Delta }t$, onde $j,n$ são números inteiros. Define-se a notação $\mathrm{\Phi }(t_n,x_j)={\mathrm{\Phi }}_j^n$ e também $V(t_n,x_n)=V_j^n$. Discretiza-se as derivadas parciais explicitamente com uma expansão em série de taylor da própria função:

${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}={\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}+{\partial }_t{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}\mathrm{\Delta }t+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{t}^2)$

Considerando uma derivada discretizada ${\delta }_t\approx {\partial }_t$ e truncando na primeira ordem:

${\delta }_t{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{\mathrm{\Delta }t}$

O processo é completamente análogo para a derivada espacial, porém para facilitar a aplicação do método mantém-se o espaço centrado em $x_j$, em outras palavras faz-se uma expansão em torno de $x_{j-1}$, obtendo:

${\delta }_x{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}}}{2h}$

Com isso, obtém-se uma equação para um método explícito no tempo da equação de Dirac 1D.

$i{\delta }_t{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=[-i{\sigma }_1{\delta }_x+{\sigma }_3]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}+[V_j^n{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}$

$i\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{\mathrm{\Delta }t}=[-i{\sigma }_1{\delta }_x+{\sigma }_3]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}+[V_j^n{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}$

$i{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}={\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}+\mathrm{\Delta }t[-i{\sigma }_1{\delta }_x+{\sigma }_3]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}+\mathrm{\Delta }t[V_j^n{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}$

Pode-se também desenvolver um método implícito no tempo fazendo a expansão de ${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}$ em torno de $t_n$, obtendo:

${\delta }_t{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}}{\mathrm{\Delta }t}$

Ao aplicar esta aproximação na equação discretizada basta dar um passo a frente em todos os elementos, obtendo um método implícito no tempo, já que há dependência com $t_{n+1}$.

$i{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}={\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}+\mathrm{\Delta }t[-i{\sigma }_1{\delta }_x+{\sigma }_3]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+\mathrm{\Delta }t[V_j^{n+1}{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}$

Método de Crank-Nicolson

O método de Crank-Nicolson (CN) consiste em uma média entre um método explícito e outro implícito no espaço. Utilizar-se-á a notação ${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}/\mathbf{𝟐}}$ para representar justamente a média entre ambos os métodos, ou seja:

${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}/\mathbf{𝟐}}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2}$

Define-se a notação:

$V_j^{n+1/2}{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}/\mathbf{𝟐}}=\frac{V_j^{n+1}{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+V_j^n{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2}$

Dessa maneira, enuncia-se o método CN para a equação de Dirac 1D como:

$i{\delta }_t{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=[-i{\sigma }_1{\delta }_x+{\sigma }_3]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}/\mathbf{𝟐}}+[V_j^{n+1/2}{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}/\mathbf{𝟐}}$

Onde ${\delta }_t,{\delta }_x$ são as discretizações explícitas das derivadas.

Para que seja possível aplicar e estudar o método, é necessário passar da notação matricial para escalar:

$i{\delta }_t{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=-i{\sigma }_1{\delta }_x(\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2})+{\sigma }_3(\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2})+I_2(\frac{V_j^{n+1}{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+V_j^n{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2})$

$i\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{\mathrm{\Delta }t}=-\frac{i}{2}{\sigma }_1[\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}}{2h}+\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}}}{2h}]+{\sigma }_3(\frac{{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2})+I_2(\frac{V_j^{n+1}{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+V_j^n{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}}{2})$

Isolando cada tempo em um lado da igualdade:

$[I_2+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1[{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}]=$ $[I_2-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^n{I}_2]{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1[{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{+}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}}-{\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}\mathbf{-}\mathbf{𝟏}}^{\mathbf{𝐧}}]$

Abrindo as matrizes ${\sigma }_1,{\sigma }_3$ e $I_2$ e operando-as sobre o vetor $\mathrm{\Phi }$ na equação, tem-se:

$(\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right]+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right]+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right])\left[\begin{array}{c}{\psi }_{1,j}^{n+1}\\ {\psi }_{4,j}^{n+1}\\ \end{array}\right]+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\psi }_{1,j+1}^{n+1}-{\psi }_{1,j-1}^{n+1}\\ {\psi }_{4,j+1}^{n+1}-{\psi }_{4,j-1}^{n+1}\\ \end{array}\right]=$

$(\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right]-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right]-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^n\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right])\left[\begin{array}{c}{\psi }_{1,j}^n\\ {\psi }_{4,j}^n\\ \end{array}\right]-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\psi }_{1,j+1}^n-{\psi }_{1,j-1}^n\\ {\psi }_{4,j+1}^n-{\psi }_{4,j-1}^n\\ \end{array}\right]$

Pode-se realizar as operações matriciais e escrever duas equações escalares. Para facilitar a notação, utiliza-se $f_j^n={\psi }_{1,j}^n$ e $g_j^n={\psi }_{4,j}^n$:

$\{\begin{array}{l}[1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(V_j^{n+1}+1)]f_j^{n+1}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(g_{j+1}^{n+1}-g_{j-1}^{n+1})=[1-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(V_j^n+1)]f_j^n-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(g_{j+1}^n-g_{j-1}^n)\\ [1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(V_j^{n+1}-1)]g_j^{n+1}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(f_{j+1}^{n+1}-f_{j-1}^{n+1})=[1-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(V_j^n-1)]g_j^n-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(f_{j+1}^n-f_{j-1}^n)\end{array}$

Tem-se então um número $n$ de equações onde $n$ é o número de elementos do espaço discretizado. Portanto o primeiro termo das duas equações gera uma matriz diagonal, pois multiplica os termos espaciais dependentes de $x_j$; já o segundo termo gera uma matriz tridiagonal com diagonal principal nula. Nota-se que os primeiros termos dos dois lados da igualdade são o conjugado um do outro: define-se, portanto, ${\alpha }^n=1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(V_j^{n+1}+1)$ e $\beta =1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(V_j^{n+1}-1)$.

$\{\begin{array}{l}{\alpha }^{n+1}{f}_j^{n+1}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(g_{j+1}^{n+1}-g_{j-1}^{n+1})={\alpha }^{n^{*}}{f}_j^n-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(g_{j+1}^n-g_{j-1}^n)\\ {\beta }^{n+1}{g}_j^{n+1}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(f_{j+1}^{n+1}-f_{j-1}^{n+1})={\beta }^{n^{*}}{g}_j^n-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}(f_{j+1}^n-f_{j-1}^n)\end{array}$

Considerando que o potencial $V$ é só função da posição, escreve-se o método como:

$\{\begin{array}{l}A{f}^{n+1}+B{g}^{n+1}=A^{*}{f}^n-B{g}^n\\ C{g}^{n+1}+B{f}^{n+1}=C^{*}{g}^n-B{f}^n\\ \end{array}$

Onde:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}\alpha & 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \alpha & 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \alpha & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & \alpha \\ \end{array}\right];B=\left[\begin{array}{ccccc}0& \frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}& 0& \cdots & 0\\ -\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}& 0& \frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}& \cdots & 0\\ 0& -\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \cdots & -\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}& 0\\ \end{array}\right];C=\left[\begin{array}{ccccc}\beta & 0& 0& \cdots & 0\\ 0& \beta & 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \beta & \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & \beta \\ \end{array}\right];$

Por fim, pode-se escrever o método resolvendo o sistema:

$\{\begin{array}{l}{f}^{n+1}=F^{-1}D{f}^n-F^{-1}E{g}^n\\ g^{n+1}=J^{-1}G{g}^n-J^{-1}H{f}^n\\ \end{array}$

Onde $D=(B^{-1}{A}^{*}+C^{-1}B)$, $E=(I-C^{-1}{C}^{*})$, $F=(B^{-1}A-C^{-1}B)$, $G=(A^{-1}{A}^{*}+I)$, $H=(A^{-1}B+B^{-1}{C}^{*})$ e $J=(A^{-1}B-B^{-1}C)$.

Com isso, condições iniciais e de contorno bem estabelecidas, já é possível aplicar o método, dado que todas essas matrizes dependem somente dos parâmetros do sistema.

Estabilidade Crank-Nicolson

Utilizar-se-á o método de von Neumann para analisar a estabilidade do método de Crank-Nicolson para a equação de Dirac unidimensional. Para tanto, supõe-se que a função ${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}$ pode ser dada pela série de Fourier

${\mathrm{\Phi }}_{\mathbf{𝐣}}^{\mathbf{𝐧}}=\sum _{k=0}^{\inf }{\mathbf{𝐀}}^n{e}^{ikqjh}$

Devido à independência linear de cada termo do somatório, ao substituir na equação do método haverá uma equação para cada ente do somatório. Se $\left|\frac{{\mathbf{𝐀}}^{n+1}}{{\mathbf{𝐀}}^n}\right|\le 1$, então pode-se dizer que o método estável, já que dessa forma garante-se uma não divergência.

Aplica-se um termo geral da série de índice $k$ no método CN para a equação de Dirac 1D:

$[I_2+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}{I}_2]{\mathbf{𝐀}}^{n+1}{e}^{ikqjh}+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1{\mathbf{𝐀}}^{n+1}[e^{ikq(j+1)h}-e^{ikq(j-1)h}]=[I_2-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^n{I}_2]{\mathbf{𝐀}}^n{e}^{ikqjh}-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1{\mathbf{𝐀}}^n[e^{ikq(j+1)h}-e^{ikq(j-1)h}]$

Divide-se tudo por $e^{ikqjh}$ e isola-se $\mathbf{𝐀}$:

$[I_2+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}{I}_2+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1(e^{ikqh}-e^{-ikqh})]{\mathbf{𝐀}}^{n+1}=[I_2-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^n{I}_2-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1(e^{ikqh}-e^{-ikqh})]{\mathbf{𝐀}}^n$

$[I_2+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}{I}_2+\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2i}\right)]{\mathbf{𝐀}}^{n+1}=[I_2-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^n{I}_2-\frac{\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2i}\right)]{\mathbf{𝐀}}^n$

$[I_2+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}{I}_2-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2}\right)]{\mathbf{𝐀}}^{n+1}=[I_2-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3-\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^n{I}_2+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2}\right)]{\mathbf{𝐀}}^n$

Nota-se que os termos que multiplicam o fator $\mathbf{𝐀}$ são o conjugado um do outro. Define-se $z=I_2+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{\sigma }_3+\frac{i}{2}\mathrm{\Delta }t{V}_j^{n+1}{I}_2-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4h}{\sigma }_1\left(\frac{\sin (kqh)}{2}\right)$; dessa maneira:

$\frac{{\mathbf{𝐀}}^{n+1}}{{\mathbf{𝐀}}^n}=\frac{z^{*}}{z}$

$\left|\frac{{\mathbf{𝐀}}^{n+1}}{{\mathbf{𝐀}}^n}\right|=\left|\frac{z^{*}}{z}\right|=\frac{|z^{*}|}{|z|}=1$,

onde $z$ é sempre diferente de zero, visto que a parte real é dada por uma matriz identidade constante.

Mostra-se, portanto, que a razão entre os coeficientes da série de Fourier nunca diverge, ou seja, o método é incondicionalmente estável.

Referências

1. The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London A, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
2. SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
3. BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.
4. SOFF, G. et al. Solution of the Dirac Equation for Scalar Potentials and its Implications in Atomic Physics. Zeitschrift für Naturforschung A, v. 28, n. 9, p. 1389–1396, 1 set. 1973.
5. THALLER, B. The Dirac equation. Berlin: Springer, 2010.