Equação de Ginzburg-Landau complexa

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:

• Ondas não lineares;
• Transições de fase de segunda ordem;
• Supercondutividade;
• Superfluidez;
• Condensado de Bose-Einstein.

A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial A}{\partial t} = (1+ic_1)\nabla^2 A + A - (1-ic_3) A|A|^2. }

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.

Dedução

Espaço de fase do oscilador harmônico

A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é a energia, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} a coordenada e seu respectivo momento, $m$ é a massa e $\omega _{0}$ a frequência angular

$E={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}q^{2}.$

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, $q\rightarrow q/m^{1/2}$ e $p\rightarrow pm^{1/2}$, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de $\omega _{0}q$ e $p$

$E={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}\omega _{0}^{2}q^{2}.$

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde $R$ é a amplitude e $\phi$ a fase

${\dot {R}}=0,\quad {\dot {\phi }}=\omega _{0}.$

Definindo a variável complexa $A=Re^{i\phi }$, a equação acima pode ser reescrita como

${\dot {A}}=i\omega _{0}A.$

Realizando a transformação de variável $A\rightarrow Ae^{i\chi }$, com $\chi \in \mathbb {R}$, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear $f(A,A^{*})$ tal que

${\dot {A}}=i\omega _{0}A+f(A,A^{*})$

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações $A\rightarrow Ae^{i\chi }$ e $A^{*}\rightarrow A^{*}e^{-i\chi }$, a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} deve satisfazer

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A e^{i \chi}, A^* e^{-i \chi}) = f(A, A^*) e^{i \chi}, }

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*)} em potências de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^*} até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 \in \mathbb{C}, \quad \alpha_2 \in \mathbb{C} }