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| O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson. | | O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson. |
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| ==Shooting Method==
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| Muitos métodos numéricos (e.g. Runge-Kutta, Forward Euler) requerem os valores da função e de sua derivada no ponto inicial. Acontece que podem haver problemas em que estes valores não estarão disponíveis, principalmente o valor da derivada em questão. Uma alternativa seria conjecturar o valor da condição inicial e integrar, através de um método apropriado, em direção à outra condição de contorno: um "chute" apropriado faria com que a integração evoluísse e retornasse um valor muito próximo, a depender da acurácia necessária, ao da condição de contorno. A ideia seria executar os seguintes passos:
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| # Supor um valor para a condição de contorno desconhecida (e.g. <math>y(0)</math> ou <math>y'(0)</math>);
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| # Integrar o problema através de um método conhecido até a próxima condição de contorno (e.g., <math>y(L)</math>);
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| # Se o chute inicial não fez com que o sistema evoluísse até <math>y(L)</math>, então deve-se supor outro valor para a condição inicial e repetir o procedimento.
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| O método descrito acima de forma simplificada recebe o nome, em inglês, de ''Shooting method'', o que em português seria algo como "Método do tiro" ou "Método do chute". Na próxima seção esse método será aplicado para o caso do poço infinito de potencial.
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| ===Poço de potencial infinito===
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| Seja a equação <math>\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k\psi E</math>, onde <math>k=\frac{2m}{\hbar^2}</math>.
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| Escrevendo com outra notação: <math>\ddot{\psi}=-k\psi E</math>.
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| Dividindo o problema em <math>\Delta x </math>'s pequenos, pode-se reescrever a equação acima da seguinte forma:
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| <center><math> \ddot{\psi}=\frac{\Delta \dot{\psi}}{\Delta x}=\frac{\dot{\psi_2}-\dot{\psi_1}}{\Delta x} \implies \dot{\psi_2}=\ddot{\psi} \Delta x + \dot{\psi_1}</math></center>.
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| Também:
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| <center><math>\dot{\psi}=\frac{\Delta \psi}{\Delta x}=\frac{\psi_2-\psi_1}{\Delta x} \implies \psi_2 = \dot{\psi}\Delta x + \psi_1</math></center>.
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| Além disso:
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| <center><math>\Delta x = x_2-x_1 \implies x_2 = x_1 +\Delta{x}</math></center>.
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| A integração, então, é realizada utilizando as relações 8, 9, 10 e 11, até que se atinja a borda do poço, isto é, <math>x=L</math>.
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| Com a discretização acima, foi possível implementar o algoritmo. Das condições de contorno do problema, sabe-se que <math>\psi(0)=0</math>, de modo que <math>\psi_1=0</math>. No entanto, o valor da derivada <math>\dot{\psi_1}</math> não é conhecido, de modo que supõe-se que seja uma constante, a saber, <math>\dot{\psi_1}=1</math>. Chutando que <math>E=0</math>, utilizando a massa do elétron e <math>L=1</math>, obtém-se a primeira solução estacionária:
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| [[Arquivo:n=1.png|300px|thumb|center|Solução estacionária (n=1)]]
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| Pode-se observar que o valor de energia obtido numericamente é cerca de 4% menor do que aquele obtido analiticamente.
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| Para o caso n=2:
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| [[Arquivo:n=2.png|300px|thumb|center|Solução estacionária (n=2)]]
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| Aqui, o valor obtido numericamente é aproximadamente 5% maior do que o valor obtido analiticamente.
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| Para o caso n=3:
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| [[Arquivo:n=3.png|300px|thumb|center|Solução estacionária (n=3)]]
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| Para este caso, o valor numérico é cerca de 1% menor do que o valor analítico.
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| ==Método de Crank-Nicolson== | | ==Método de Crank-Nicolson== |
Edição das 19h28min de 12 de fevereiro de 2023
O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.
Método de Crank-Nicolson
Seja a equação diferencial
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=L_{1}{\textbf {r}}f({\textbf {r}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754ce2920bb8e371fc8117527a251d0f7ed17987)
,
onde
é um operador diferencial linear em r.
Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever
![{\displaystyle f^{n+1}({\textbf {r}})-f^{n}({\textbf {r}})=L_{\textbf {r}}f^{n}({\textbf {r}})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7135c016f35b18ecf79687ffea422099f5941d90)
.
Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:
A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de
, só é utilizado o valor já explicitamente calculado
. Já a equação anterior é chamada implícita pois
está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:
Após alguma álgebra:
![{\displaystyle f^{n+1}({\textbf {r}})=\left(1-{\frac {dt}{2}}L_{\textbf {r}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {dt}{2}}L_{\textbf {r}}\right)f^{n}({\textbf {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff211f31f19721d5bf47819654a1de915d65adf)
.
Chamando
e
, onde I indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:
![{\displaystyle f^{n+1}=E^{-1}Mf^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57b79ed9ddc09a90a6ed04945917d763c5b9a58)
.
Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes M e E.
Equação de Schrödinger
Seja a equação de Schrödinger unidimensional
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372ec4e9d36efe83a57933feddec1cc1f5f8bb09)
.
Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:
Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:
Supondo
e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:
Definindo
![{\displaystyle a\equiv {\frac {-i\Delta t}{4(\Delta x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8c35cdd23475fb65d4f711027655509605c5f2)
e
![{\displaystyle b_{j}\equiv \left(1+{\frac {i\Delta t}{2}}\right)\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a0393d31a97a13a5f71a5ec077f7c8d65dc063)
obtém-se:
A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que:
onde
e
Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar
. Utilizando resultados anteriores, pode-se obter
através da seguinte relação:
Poço de potencial infinito
Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores
e
ficam:
e
A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor
quanto do vetor
seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices
são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.
Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:
Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.
Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.
Por último, o caso n=3.