Trabalhos 2022/2

Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Método de Crank-Nicolson

Seja a equação diferencial

${\frac {\partial f}{\partial t}}=L_{1}{\textbf {r}}f({\textbf {r}},t)$

,

onde $L_{\textbf {r}}$ é um operador diferencial linear em r.

Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever

$f^{n+1}({\textbf {r}})-f^{n}({\textbf {r}})=L_{\textbf {r}}f^{n}({\textbf {r}})dt$

.

Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:

$f^{n+1}({\textbf {r}})-f^{n}({\textbf {r}})=L_{\textbf {r}}f^{n+1}({\textbf {r}})dt.$

A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de $f^{n+1}$, só é utilizado o valor já explicitamente calculado $f^{n}$. Já a equação anterior é chamada implícita pois $f^{n+1}$ está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:

$f^{n+1}({\textbf {r}})-f^{n}({\textbf {r}})={\frac {dt}{2}}(L_{\textbf {r}}f^{n+1}({\textbf {r}})+L_{\textbf {r}}f^{n}({\textbf {r}})).$

Após alguma álgebra:

$f^{n+1}({\textbf {r}})=\left(1-{\frac {dt}{2}}L_{\textbf {r}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {dt}{2}}L_{\textbf {r}}\right)f^{n}({\textbf {r}})$

.

Chamando $M=I+{\frac {dt}{2}}L_{\textbf {r}}$ e $E=I-{\frac {dt}{2}}L_{\textbf {r}}$, onde I indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:

$f^{n+1}=E^{-1}Mf^{n}$

.

Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes M e E.

Equação de Schrödinger

Seja a equação de Schrödinger unidimensional

$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi$

.

Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {\Psi _{j}^{n+1}-\Psi _{j}^{n}}{\Delta t}};$ ${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {(\Psi _{j+1}^{n+1}-2\Psi _{j}^{n+1}+\Psi _{j-1}^{n+1})+(\Psi _{j+1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j-1}^{n})}{2\Delta x^{2}}}\right];$ $V\Psi ={\frac {1}{2}}[V_{j}^{n+1}\Psi _{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi _{j}^{n}].$

Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:

$i\left({\frac {\Psi _{j}^{n+1}-\Psi _{j}^{n}}{\Delta t}}\right)=-{\frac {\hbar ^{2}}{4m(\Delta x)^{2}}}\left[(\Psi _{j+1}^{n+1}-2\Psi _{j}^{n+1}+\Psi _{j-1}^{n+1})+(\Psi _{j+1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j-1}^{n})\right]+{\frac {1}{2}}[V_{j}^{n+1}\Psi _{j}^{n+1}+V_{j}^{n}\Psi _{j}^{n}].$

Supondo $\hbar =m=1$ e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:

$\Psi _{j}^{n+1}\left[1+{\frac {i\Delta t}{2}}\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}^{n+1}\right)\right]+\Psi _{j-1}^{n+1}\left[-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right]+\Psi _{j+1}^{n+1}\left[-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right]=\Psi _{j}^{n}\left[1-{\frac {i\Delta t}{2}}\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}^{n}\right)\right]+\Psi _{j-1}^{n}\left[-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right]+\Psi _{j+1}^{n}\left[{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\right].$

Definindo

$a\equiv {\frac {-i\Delta t}{4(\Delta x)^{2}}}$

e

$b_{j}\equiv \left(1+{\frac {i\Delta t}{2}}\right)\left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+V_{j}\right),$

obtém-se:

$\Psi _{j}^{n+1}b_{j}+\Psi _{j-1}^{n+1}a+\Psi _{j+1}^{n+1}a=\Psi _{j}^{n}b_{j}^{*}+\Psi _{j-1}^{n}a^{*}+\Psi _{j+1}^{n}a^{*}.$

A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que:

${\hat {C}}\Psi ^{n+1}={\hat {D}}\Psi ^{n},$

onde

${\hat {C}}={\begin{bmatrix}b_{0}&a&0&&...&0\\a&b_{1}&a&0&...&0\\0&a&b_{2}&a&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a&b_{j-1}&a\\0&0&...&0&a&b_{j}\\\end{bmatrix}}$

e

${\hat {D}}={\begin{bmatrix}b_{0}^{*}&a&0&&...&0\\a^{*}&b_{1}^{*}&a^{*}&0&...&0\\0&a^{*}&b_{2}^{*}&a^{*}&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a^{*}&b_{j-1}^{*}&a^{*}\\0&0&...&0&a^{*}&b_{j}^{*}\\\end{bmatrix}}$

Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar $\Psi ^{n+1}$. Utilizando resultados anteriores, pode-se obter $\Psi ^{n+1}$ através da seguinte relação:

$\Psi ^{n+1}={\hat {C}}^{-1}{\hat {C^{*}}}\Psi ^{n}$

Poço de potencial infinito

Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores ${\hat {C}}$ e ${\hat {D}}$ ficam:

${\hat {C}}={\begin{bmatrix}1&0&0&&...&0\\a&b&a&0&...&0\\0&a&b&a&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a&b&a\\0&0&...&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

e

${\hat {D}}={\begin{bmatrix}1&0&0&&...&0\\a^{*}&b^{*}&a^{*}&0&0...&0\\0&a^{*}&b^{*}&a^{*}&0&0\\0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\...&...&...&a^{*}&b^{*}&a^{*}\\0&0&...&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor $\Psi ^{n}$ quanto do vetor $\Psi ^{n+1}$ seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices $b$ são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.

Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:

Evolução temporal (n=1)

Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.

Evolução temporal (n=2)

Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.

Evolução temporal (n=3)

Por último, o caso n=3.