Trabalhos 2022/2

Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Shooting Method

Muitos métodos numéricos (e.g. Runge-Kutta, Forward Euler) requerem os valores da função e de sua derivada no ponto inicial. Acontece que podem haver problemas em que estes valores não estarão disponíveis, principalmente o valor da derivada em questão. Uma alternativa seria conjecturar o valor da condição inicial e integrar, através de um método apropriado, em direção à outra condição de contorno: um "chute" apropriado faria com que a integração evoluísse e retornasse um valor muito próximo, a depender da acurácia necessária, ao da condição de contorno. A ideia seria executar os seguintes passos:

1. Supor um valor para a condição de contorno desconhecida (e.g. $y(0)$ ou $y^{\prime }(0)$);
2. Integrar o problema através de um método conhecido até a próxima condição de contorno (e.g., $y(L)$);
3. Se o chute inicial não fez com que o sistema evoluísse até $y(L)$, então deve-se supor outro valor para a condição inicial e repetir o procedimento.

O método descrito acima de forma simplificada recebe o nome, em inglês, de Shooting method, o que em português seria algo como "Método do tiro" ou "Método do chute". Na próxima seção esse método será aplicado para o caso do poço infinito de potencial.

Poço de potencial infinito

Seja a equação $\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=-k\psi E$, onde $k=\frac{2m}{{\hslash }^2}$.

Escrevendo com outra notação: $\ddot{\psi }=-k\psi E$.

Dividindo o problema em $\mathrm{\Delta }x$'s pequenos, pode-se reescrever a equação acima da seguinte forma:

$\ddot{\psi }=\frac{\mathrm{\Delta }\dot{\psi }}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\dot{{\psi }_2}-\dot{{\psi }_1}}{\mathrm{\Delta }x}⟹\dot{{\psi }_2}=\ddot{\psi }\mathrm{\Delta }x+\dot{{\psi }_1}$

.

Também:

$\dot{\psi }=\frac{\mathrm{\Delta }\psi }{\mathrm{\Delta }x}=\frac{{\psi }_2-{\psi }_1}{\mathrm{\Delta }x}⟹{\psi }_2=\dot{\psi }\mathrm{\Delta }x+{\psi }_1$

.

Além disso:

$\mathrm{\Delta }x=x_2-x_1⟹x_2=x_1+\mathrm{\Delta }x$

.

A integração, então, é realizada utilizando as relações 8, 9, 10 e 11, até que se atinja a borda do poço, isto é, $x=L$.

Com a discretização acima, foi possível implementar o algoritmo. Das condições de contorno do problema, sabe-se que $\psi (0)=0$, de modo que ${\psi }_1=0$. No entanto, o valor da derivada $\dot{{\psi }_1}$ não é conhecido, de modo que supõe-se que seja uma constante, a saber, $\dot{{\psi }_1}=1$. Chutando que $E=0$, utilizando a massa do elétron e $L=1$, obtém-se a primeira solução estacionária:

Solução estacionária (n=1)

Pode-se observar que o valor de energia obtido numericamente é cerca de 4% menor do que aquele obtido analiticamente.

Para o caso n=2:

Solução estacionária (n=2)

Aqui, o valor obtido numericamente é aproximadamente 5% maior do que o valor obtido analiticamente.

Para o caso n=3:

Solução estacionária (n=3)

Para este caso, o valor numérico é cerca de 1% menor do que o valor analítico.

Método de Crank-Nicolson

Seja a equação diferencial

$\frac{\partial f}{\partial t}=L_1\text{r}f(\text{r},t)$

,

onde $L_{\text{r}}$ é um operador diferencial linear em r.

Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever

$f^{n+1}(\text{r})-f^n(\text{r})=L_{\text{r}}{f}^n(\text{r})dt$

.

Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:

$f^{n+1}(\text{r})-f^n(\text{r})=L_{\text{r}}{f}^{n+1}(\text{r})dt.$

A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de $f^{n+1}$, só é utilizado o valor já explicitamente calculado $f^n$. Já a equação anterior é chamada implícita pois $f^{n+1}$ está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:

$f^{n+1}(\text{r})-f^n(\text{r})=\frac{dt}{2}(L_{\text{r}}{f}^{n+1}(\text{r})+L_{\text{r}}{f}^n(\text{r})).$

Após alguma álgebra:

$f^{n+1}(\text{r})={(1-\frac{dt}{2}{L}_{\text{r}})}^{-1}(1+\frac{dt}{2}{L}_{\text{r}})f^n(\text{r})$

.

Chamando $M=I+\frac{dt}{2}{L}_{\text{r}}$ e $E=I-\frac{dt}{2}{L}_{\text{r}}$, onde I indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:

$f^{n+1}=E^{-1}M{f}^n$

.

Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes M e E.

Equação de Schrödinger

Seja a equação de Schrödinger unidimensional

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+V\mathrm{\Psi }$

.

Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}-{\mathrm{\Psi }}_j^n}{\mathrm{\Delta }t};$ $\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}=\frac{{\hslash }^2}{2m}\left[\frac{({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}-2{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1})+({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n)}{2\mathrm{\Delta }{x}^2}\right];$ $V\mathrm{\Psi }=\frac{1}{2}[V_j^{n+1}{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}+V_j^n{\mathrm{\Psi }}_j^n].$

Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:

$i\left(\frac{{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}-{\mathrm{\Psi }}_j^n}{\mathrm{\Delta }t}\right)=-\frac{{\hslash }^2}{4m(\mathrm{\Delta }x{)}^2}[({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}-2{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1})+({\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n)]+\frac{1}{2}[V_j^{n+1}{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}+V_j^n{\mathrm{\Psi }}_j^n].$

Supondo $\hslash =m=1$ e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}[1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+V_j^{n+1})]+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}[-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}]+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}[-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}]={\mathrm{\Psi }}_j^n[1-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}(\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+V_j^n)]+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n[-\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}]+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n\left[\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4\mathrm{\Delta }{x}^2}\right].$

Definindo

$a\equiv \frac{-i\mathrm{\Delta }t}{4(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

e

$b_j\equiv (1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2})(\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+V_j),$

obtém-se:

${\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}{b}_j+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}a+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}a={\mathrm{\Psi }}_j^n{b}_j^{*}+{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n{a}^{*}+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n{a}^{*}.$

A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que:

$\hat{C}{\mathrm{\Psi }}^{n+1}=\hat{D}{\mathrm{\Psi }}^n,$

onde

$\hat{C}=\left[\begin{array}{cccccc}{b}_0& a& 0& & ...& 0\\ a& b_1& a& 0& ...& 0\\ 0& a& b_2& a& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & \ddots & \ddots \\ ...& ...& ...& a& b_{j-1}& a\\ 0& 0& ...& 0& a& b_j\\ \end{array}\right]$

e

$\hat{D}=\left[\begin{array}{cccccc}{b}_0^{*}& a& 0& & ...& 0\\ a^{*}& b_1^{*}& a^{*}& 0& ...& 0\\ 0& a^{*}& b_2^{*}& a^{*}& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & \ddots & \ddots \\ ...& ...& ...& a^{*}& b_{j-1}^{*}& a^{*}\\ 0& 0& ...& 0& a^{*}& b_j^{*}\\ \end{array}\right]$

Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar ${\mathrm{\Psi }}^{n+1}$. Utilizando resultados anteriores, pode-se obter ${\mathrm{\Psi }}^{n+1}$ através da seguinte relação:

${\mathrm{\Psi }}^{n+1}={\hat{C}}^{-1}\widehat{C^{*}}{\mathrm{\Psi }}^n$

Poço de potencial infinito

Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores $\hat{C}$ e $\hat{D}$ ficam:

$\hat{C}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& & ...& 0\\ a& b& a& 0& ...& 0\\ 0& a& b& a& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & \ddots & \ddots \\ ...& ...& ...& a& b& a\\ 0& 0& ...& 0& 0& 1\\ \end{array}\right]$

e

$\hat{D}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& & ...& 0\\ a^{*}& b^{*}& a^{*}& 0& 0...& 0\\ 0& a^{*}& b^{*}& a^{*}& 0& 0\\ 0& 0& \ddots & \ddots & \ddots \\ ...& ...& ...& a^{*}& b^{*}& a^{*}\\ 0& 0& ...& 0& 0& 1\\ \end{array}\right]$

A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor ${\mathrm{\Psi }}^n$ quanto do vetor ${\mathrm{\Psi }}^{n+1}$ seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices $b$ são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.

Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:

Evolução temporal (n=1)

Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.

Evolução temporal (n=2)

Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.

Evolução temporal (n=3)

Por último, o caso n=3.