Equação de Langevin: mudanças entre as edições
Sem resumo de edição |
|||
| Linha 116: | Linha 116: | ||
: <math>\Delta t = 10^{-2}</math> | : <math>\Delta t = 10^{-2}</math> | ||
: <math>t_{max} = 5 \cdot 10^5</math> | : <math>t_{max} = 5 \cdot 10^5</math> | ||
: <math>\vec{r}_{ini} = (0, 0)</math> | |||
: <math>\gamma = 10^{-1}, 10^0, 10^1</math> | : <math>\gamma = 10^{-1}, 10^0, 10^1</math> | ||
: <math>T = 1, 2, 3</math> | : <math>T = 1, 2, 3</math> | ||
As nove simulações englobam, ao todo, todas combinações de <math>T</math> e <math>\gamma</math> para os valores escolhidos. Após todos os <math>50.000.001</math> instantes da simulação serem calculados, o computador salva os valores de posição e momentum de cada um deles em arquivos numa pasta única, que contem, além destes valores, os valores utilizados na simulação. Assim, um programa diferente pode ser utilizado para continuar a execução da simulação ou também gerar gráficos dos valores salvos de posição e momentum. Isso permite uma análise facilitada dos dados, pois não requer a execução completa do programa para cada gráfico que se deseja criar. | As nove simulações englobam, ao todo, todas combinações de <math>T</math> e <math>\gamma</math> para os valores escolhidos. Após todos os <math>50.000.001</math> instantes da simulação serem calculados, o computador salva os valores de posição e momentum de cada um deles em arquivos numa pasta única, que contem, além destes valores, os valores utilizados na simulação. Assim, um programa diferente pode ser utilizado para continuar a execução da simulação ou também gerar gráficos dos valores salvos de posição e momentum. Isso permite uma análise facilitada dos dados, pois não requer a execução completa do programa para cada gráfico que se deseja criar. | ||
Edição das 12h27min de 18 de outubro de 2022
Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto
O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[1] Serão explorados os casos de partículas individuais livres, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no deslocamento quadrático médio e no momentum médio.
Equação de Langevin
Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\vec{v}}{dt} = -\gamma \vec{v} + \xi (t). }
Na equação acima, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} é o coeficiente de atrito e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi(t)} é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e deslocamento padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D = \frac{2k_{B}T}{\gamma m}. \quad (I) }
Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é o coeficiente de difusão do meio, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} é a constante de Boltzmann, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} é a temperatura e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} é a massa da partícula macroscópica. Outra relação presente no livro do Frenkel [2], desenvolvida teoricamente, é a do coeficiente de difusão e o deslocamento quadrático médio de uma partícula no meio:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle \left( r(t) - r_0(t) \right)^2 \right \rangle = 2dDt. \quad (II) }
Método BAOAB
O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews [3] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.
Ele é baseado na solução exata para o momentum,
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\vec{p} = -\gamma \vec{p}dt + \sqrt{2\gamma mk_{B}T}d\vec{W} , }
e faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{r}(t) +\frac{\Delta t}{2}\vec{p}\left ( t +\frac{\Delta t}{2}\right )\frac{1}{m} , }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{p}(t) + \frac{\Delta t}{2}\vec{f}(t) , }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p'}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = exp(-\gamma \Delta t)\vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) + \sqrt{1-exp(-2\gamma \Delta t)}\sqrt{mk_{B}T}\vec{G} . }
O Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{G}} aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel do ruído estocástico.
A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.
Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{p}(t) + \frac{\Delta t}{2}\vec{f}(t) , \quad (1) }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right) = \vec{r}(t) +\frac{\Delta t}{2}\vec{p}\left ( t +\frac{\Delta t}{2}\right )\frac{1}{m} , \quad (2) }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p'}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) = exp(-\gamma \Delta t)\vec{p}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) + \sqrt{1-exp(-2\gamma \Delta t)}\sqrt{mk_{B}T}\vec{G} , \quad (3) }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}(t + \Delta t) = \vec{r}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) +\frac{\Delta t}{2}\vec{p'}\left ( t +\frac{\Delta t}{2}\right )\frac{1}{m} , \quad (4) }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}(t + \Delta t) = \vec{p'}\left(t + \frac{\Delta t}{2}\right) + \frac{\Delta t}{2}\vec{f}(t) . \quad (5) }
É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{f}} , já que ele pode depender de termos já atualizados como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{p}} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}} .
Implementação do Método BAOAB
Um exemplo de implementação desse método feito foi para a partícula livre. Nota-se que nesse caso a partícula não é afetada por um campo potencial então os passos do método que envolvem a força Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{f}} serão desconsiderados.
A função a seguir se encontra em um código (orientado a objeto) de autoria do integrante Artur e que pode ser acessado aqui.
def baoab_livre(self, dt, exp, sqexp, sqt, G):
'''
dt: discretização do tempo
exp: termo referente a primeira exponencial da eq.3
sqexp: termo da raiz quadrada com exponencial da eq.3
sqt: termo da raiz quadrada com a Temperatura da eq.3
G: o vetor G da eq.3
'''
# 1/2 passo da distância
self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)
# Passo estocástico
self.vel[0] = exp*self.vel[0] + sqexp*sqt*G[0]
self.vel[1] = exp*self.vel[1] + sqexp*sqt*G[1]
# Atualização final da posição
self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)
Essa função representa um passo do laço temporal utilizando o método BAOAB. Os atributos em forma de lista ".pos" e ".vel" representam as componentes x e y respectivamente da posição e velocidade do objeto partícula.
Um exemplo de funcionamento do código é a animação a seguir:
O código foi executado usando a semente de números aleatórios 420.
Parâmetros das Simulações
A fim de estudar a implementação do Método BAOAB para a Equação de Langevin para uma partícula livre, nove simulações foram executadas com parâmetros bem definidos. Utilizando unidades reduzidas, os parâmetros recebidos pelo computador foram:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m, k_{B} = 1}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t = 10^{-2}}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{max} = 5 \cdot 10^5}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{ini} = (0, 0)}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 10^{-1}, 10^0, 10^1}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = 1, 2, 3}
As nove simulações englobam, ao todo, todas combinações de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} para os valores escolhidos. Após todos os Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 50.000.001} instantes da simulação serem calculados, o computador salva os valores de posição e momentum de cada um deles em arquivos numa pasta única, que contem, além destes valores, os valores utilizados na simulação. Assim, um programa diferente pode ser utilizado para continuar a execução da simulação ou também gerar gráficos dos valores salvos de posição e momentum. Isso permite uma análise facilitada dos dados, pois não requer a execução completa do programa para cada gráfico que se deseja criar.
Como esta é uma simulação com uma variável estocástica, alguns cuidados são extremamente importantes para fazer a execução correta da simulação. Os seguintes fatos devem ser tidos em mente ao executar simulações desta natureza:
- - As simulações devem sempre possuir sementes aleatórias diferentes, com pouquíssimas exceções. Utilizando os nossos programas de exemplo: caso os valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} fossem trocados, mas a semente aleatória não, estaríamos utilizando os mesmos valores aleatórios para calcular o termo estocástico da equação, não gerando simulações completamente independentes. Além do mais, a "grande sacada" dessas simulações são que elas ***devem*** conseguir ser analisadas independente das sementes aleatórias.
- - Simulações com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} diferentes, porém todas outras variáveis iguais (incluindo a semente aleatória) não são equivalentes. Utilizando os nossos programas de exemplo: caso o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} mude, o número de números aleatórios a ser gerado será diferente, portanto ambas simulações, aparentemente equivalentes, terão ruídos aleatórios completamente diferentes e, portanto, não poderão ser comparadas tradicionalmente.
Análise do Momentum
Implementação do Deslocamento Quadrático Médio
Segue abaixo uma implementação do cálculo do deslocamento quadrático médio. A partir de um array de posições de uma única partícula, o código faz os cálculos necessários retornando um array com o MSD em cada instante de tempo, além de outras coisas.
A função a seguir se encontra em um código de autoria do integrante Leonardo. Este código abre os dados gerados por outro programa, que salva todas informações em arquvios, e permite visualizar propriedades como o MSD, a distribuição do momentum, entre outras coisas.
if modo == "MSD":
novotamanho = int(1 + ((nsalvos-1)/divisoes))
desviodividido = np.zeros(novotamanho)
indice = novotamanho - 1
xx = xy[:, 0]
yy = xy[:, 1]
for i in range(divisoes):
xini = xx[i*indice]
yini = yy[i*indice]
dx = xx[i*indice : 1+(i+1)*indice] - xini
dy = yy[i*indice : 1+(i+1)*indice] - yini
desviodividido += dx**2 + dy**2
desviodividido = (desviodividido/divisoes)[1:]
eixox = np.linspace(0, int(tmax/divisoes), int((nsalvos - 1)/divisoes) + 1)[1:]
difusivo = desviodividido[int(10/(dt*gaminha)):]
dezao = np.mean(difusivo/eixox[int(10/(dt*gaminha)):])/4
eixox = np.log10(eixox)
desviodividido = np.log10(desviodividido)
balistico = desviodividido[:int(1/(dt*gaminha))]
difusivo = desviodividido[int(10/(dt*gaminha)):]
bal = np.polyfit(eixox[:int(1/(dt*gaminha))], balistico, 1)
dif = np.polyfit(eixox[int(10/(dt*gaminha)):], difusivo, 1)
reta1 = bal[0]*eixox + bal[1]
reta2 = dif[0]*eixox + dif[1]
Neste código, "xy" é um array bidimensional, onde os índices da primeira dimensão representam o tempo, e a segunda dimensão possui dois índices: um para a posição em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e outro para a posição em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} . Para melhorar a precisão do MSD, o programa permite "fatiar" o array original de posições, considerando cada fatia das distâncias como uma execução do programa independente (o número de fatias é a variável "divisoes", definida ao iniciar o programa). Um número maior de fatias resulta em um tempo reduzido percorrido pela partícula em cada fatia, porém retorna dados com maior precisão.
Após definir a posição relativa de cada fatia dentro do array original, o programa itera sobre ele, calculando os valores de MSD para cada instante de cada fatia e somando-os a um array vazio. Por fim, é feito a média dos MSDs pelo número de partículas neste array. Dado o modo preferido de visualizar os dados posteriormente e a necessidade de outras análises numéricas, o array é transformado para escala logarítmica. É importante destacar que, antes de transformar os arrays de tempo e MSD para a escala logarítmica, ambos perdem o valor de índice 0: isso é importante pois, ao transformar os tempos para esta escala, o valor do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Log_{10}0 = - \infty} , e este valor é impossível de ser calculado computacionalmente.
Em seguida, dois arrays criados a partir do do MSD: um deles contém somente pontos do período de difusão balística, enquanto o outro possui pontos da difusão normal. É feita a regressão linear de cada um destes conjuntos de daods, a fim de encontrar a inclinação das retas ajustadas aos dados (e confirmar que estes períodos possuem, de fato, essas características difusivas, como veremos a seguir).
Estas informações são posteriormente colocadas em um gráfico utilizando outras funções. Estes gráficos poderão ser vistos na próxima seção.
Análise do MSD
Os resultados a serem analisados são originados do código (procedural) do integrante Leonardo.
Foram executadas diferentes vezes a simulação para compararmos a influência do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} e da temperatura no deslocamento quadrático médio.
Temperaturas de 1-3 e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 0.1} :
Temperaturas de 1-3 e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 1} :
Temperaturas de 1-3 e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = 10} :
De início pode-se notar que o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r^{2}}} escala de maneira proporcional a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t^{2}} (balístico) no início do processo, e depois de um determinado tempo obtemos uma relação linear que é a parte difusiva do processo. Essas inclinações das retas nos regimes balístico e difusivo são constantes em relação ao Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} e à temperatura. Outro aspecto constante é a temperatura, que não gera aparente diferença nos gráficos de MSD (mas no valor do coeficiente de difusão sim)
Uma referência da literatura a respeito do MSD (mas no contexto de dinâmica molecular usando o potencial de Lennard-Jones) se encontra no livro do Frenkel, expressa por essa imagem:
Outro aspecto importante a se ressaltar é a concordância do cálculo do coeficiente de difusão através da equação (I) e da relação de Einstein em (II), obtida através dos pontos presentes na parte difusiva.
Uma relação interessante encontrada foi a maneira como escala a mudança de regimes, indicada pela reta perpendicular ao eixo do tempo. Podemos encontrar uma aproximação para o tempo em que o regime difusivo inicia na simulação a partir da relação dependente de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} :
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega = \frac{10}{\gamma} }
Referências
- ↑ Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8
- ↑ Daan Frenkel and Berend Smit. 2001. Understanding Molecular Simulation (2nd. ed.). Academic Press, Inc., USA.
- ↑ Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8