Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores 1 ou -1, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $Q$ da seguinte forma: ${\theta }_n=\frac{2\pi n}{Q}$. A quantidade ${\theta }_n$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que $n$ pode assumir são $n=1,2,3,...,Q$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensional com $Q=10$ possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes. Nas figuras abaixo podemos ver três possíveis orientações dos spins.

Possibilidades de spin para $Q=2$.

Possibilidades de spin para $Q=3$.

Possibilidades de spin para $Q=4$.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

$H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e $\delta (s_i,s_j)$ é a delta de Kronecker, definida como 1 se $s_i=s_j$ e 0 se $s_i\ne s_j$.

Uma característica importante desse modelo é que as orientações em si não são relevantes, uma vez que o Hamiltoniano é definido por uma Delta de Kronecker. A única informação relevante é se os spins são iguais ou diferentes. Conforme veremos adiante, para o caso de $Q=2$, recaímos no conhecido Modelo de Ising.

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos $Q=2$ na expressão para ${\theta }_n$. Para que possamos reescrever o Hamiltoniano de Potts em uma forma semelhante ao Hamiltoniano de Ising, vamos somar uma constante aditiva, de modo que o Hamiltoniano fica

$H_I=H_p+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)+\sum _{(i,j)}\frac{J}{2}=-\frac{J}{2}\sum _{(i,j)}[2\delta (s_i,s_j)-1]$

Vemos que se os spins são iguais, obtemos $-J/2$ e se os spins são diferentes, obtemos $J/2$. No Modelo de Ising, nós tínhamos $-J$ e $J$, respectivamente. Uma consequência desse fator meio de diferença é que a temperatura crítica para o Modelo de Potts, para $Q=2$, é $T_c\approx 1.1$

Se incluirmos o campo magnético, o Hamiltoniado de Potts fica $H_p=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_i,s_j)-\sum _i\frac{1}{\beta }{h}_i{s}_i$

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1. Inicialize

a) Escolha um estado inicial $x_0$;

b) Coloque $t=0$

2. Itere

a) Gere um estado candidato aleatório $x^{\prime }$ de acordo $g(x^{\prime }|x_t)$

b) Calcule a probabilidade de aceitação $A(x^{\prime },x_t)=min(1,\frac{P(x^{\prime })}{P(x_t)}\frac{g(x_t|x^{\prime })}{x^{\prime }|x_t})$

c) Aceite ou rejeite:

1) Gere um número aleatório uniforme $u\in [0,1]$;

2) E se $u\le A(x^{\prime },x_t)$, aceite o novo estado e defina $x_{t+1}=x^{\prime }$;

3) E se $u>A(x^{\prime },x_t)$, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente $x_{t+1}=x_t$;

4) Incremente: coloque t = t + 1

Em nosso caso, a distribuição $\frac{A(x,x^{\prime })}{A(x^{\prime },x)}$ será $e^{-\beta \mathrm{\Delta }E}$, onde $\mathrm{\Delta }E=E_{x^{\prime }}-E_x$.

Resultados das simulações

Definimos um Monte Carlo Step (MCS) como sendo o tempo em que a rede bidimensional com $L^2$ spins é percorrida pelo algoritmo. Ao final de $L^2$ flips de spin (seja com probabilidade $1$ ou com probabilidade $\exp (-\beta \mathrm{\Delta }E)$), contamos um MCS. Além disso, em todas as simulações, utilizamos $T=1$ em unidades de $k_B$.

Energia

Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis.
Energia média por MCS para Q = 2 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 3 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 4 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 5 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 6 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 7 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 8 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 9 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 10 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 100 e L = 64.

Magnetização

Magnetização em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando algoritmo de Metropolis.
Magnetização média por MCS para Q = 2 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 3 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 4 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 5 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 6 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 7 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 8 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 9 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 10 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 100 e L = 64.

Códigos utilizados

O código foi escrito em Fortran.

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.