Equação de Langevin: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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\left< \left( r(t) - r_0(t) \right)^2 \right>
\leftangle \left( r(t) - r_0(t) \right)^2 \rightangle
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== Método BAOAB ==
== Método BAOAB ==



Edição das 13h53min de 17 de outubro de 2022

Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[LEIMKUHLER.] Serão explorados os casos de partículas individuais livres ou sujeitas a um campo potencial, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no desvio quadrático médio e na transisão de fases.

Equação de Langevin

Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:

Na equação acima, é o coeficiente de atrito e é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e desvio padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann, e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:

Onde é o coeficiente de difusão do meio, é a constante de Boltzmann, é a temperatura e é a massa da partícula macroscópica. Outra relação conhecida, oriunda também da dinâmica molecular, é a do coeficiente de difusão e o desvio quadrático médio de uma partícula no meee:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \leftangle \left( r(t) - r_0(t) \right)^2 \rightangle }

Método BAOAB

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews [1] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

O aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:


É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo , já que ele pode depender de termos já atualizados como ou .

Referências

  1. Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8