Modelo de Potts - 2D

O Modelo

Modelo de Potts pode ser considerado uma generalização do Modelo de Ising. Enquanto no Ising, os spins podem assumir valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ou $-1$, no Modelo de Potts, os spins podem assumir valores que dependem de uma variavél $Q$ da seguinte forma: $\theta _{n}={\frac {2\pi n}{Q}}$. A quantidade $\theta _{n}$ nos fornece as possíveis orientações para os spins. Os valores que $n$ pode assumir são $n=0,1,2,...,Q-1$. Dessa forma, um Modelo de Potts bidimensionaç com $Q=10$ possui uma rede bidimensional de spins com 10 orientações diferentes.

Possibilidades de spin para $Q=2$.

Possibilidades de spin para $Q=3$.

]

Possibilidades de spin para $Q=4$.

O Hamiltoniano de interação, na ausência de campo magnético, pode ser escrito como

$H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})$

onde $J$ é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação e $\delta (s_{i},s_{j})$ é a delta de Kronecker, definida como 0 se $s_{i}=s_{j}$ e 1 se $s_{i}\neq s_{j}$.

Relação com o Modelo de Ising

O Modelo de Ising é obtido quando tomamos $q=2$ na expressão para $\theta _{n}$.

O Hamiltoniano de Ising pode ser escrito como o Hamiltoniano do Potts mais uma constante aditiva $H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}[2\delta (s_{i},s_{j})-1]$

Se incluirmos o campo magnético, o Hamiltoniado fica $H_{p}=-J\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})-\sum _{i}{\frac {1}{\beta }}h_{i}s_{i}$

Algoritmo de Metropolis

Vamos implementar o Modelo de Potts utilizando o algoritmo de Metropolis.

O algoritmo de Metropolis é um método de Cadeia de Markov Monte Carlo (MCMC) para obter amostras aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade da qual a amostragem direta é difícil. O procedimento para a implementação do algoritmo é apresentado abaixo.

1. Inicialize

a) Escolha um estado inicial $x_{0}$;

b) Coloque $t=0$

2. Itere

a) Gere um estado candidato aleatório $x'$ de acordo $g(x'|x_{t})$

b) Calcule a probabilidade de aceitação $A(x',x_{t})=min\left(1,{\frac {P(x')}{P(x_{t})}}{\frac {g(x_{t}|x')}{x'|x_{t}}}\right)$

c) Aceite ou rejeite:

1) Gere um número aleatório uniforme $u\in [0,1]$;

2) E se $u\leq A(x',x_{t})$, aceite o novo estado e defina $x_{t+1}=x'$;

3) E se $u>A(x',x_{t})$, rejeite o novo estado e copie o estado antigo para frente $x_{t+1}=x_{t}$;

4) Incremente: coloque t = t + 1

Em nosso caso, a distribuição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(x,x')}{A(x',x)}} será Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{-\beta \Delta E}} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta E=E_{x'} - E_{x}} .

Resultados das simulações

Definimos um Monte Carlo Step (MCS) como sendo o tempo em que a rede bidimensional com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} spins é percorrida pelo algoritmo. Ao final de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} flips de spin (seja com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ou com probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp(-\beta \Delta E)} ), contamos um MCS.

Energia

Energia em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando o algoritmo de Metropolis.
Energia média por MCS para Q = 2 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 3 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 4 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 5 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 6 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 7 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 8 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 9 e L = 64.
Energia média por MCS para Q = 10 e L = 64.	Energia média por MCS para Q = 100 e L = 64.

Magnetização

Magnetização em cada MCS para Q indo de 2 até 10 e L = 64 utilizando algoritmo de Metropolis.
Magnetização média por MCS para Q = 2 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 3 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 4 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 5 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 6 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 7 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 8 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 9 e L = 64.
Magnetização média por MCS para Q = 10 e L = 64.	Magnetização média por MCS para Q = 100 e L = 64.

Códigos utilizados

O código foi escrito em Fortran.

Metropolis - Potts 2D

Referências

D. P. Landau, K. Binder. A Guide Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University. New York. 2000.

L. M. Barone, E. Marinari, G. Organtini, F. Ricci-Tersengui. Scientific Programming: C-Language, Algorithms and Models in Science. World Scientific. Singapore. 2013.