Grupo3 - Ondas2: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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k = v \hspace{0.3mm} \frac{\partial u}{\partial x}, \hspace{10mm} s = \frac{\partial u}{\partial t},
k = v \hspace{0.3mm} \frac{\partial u}{\partial x},         s = \frac{\partial u}{\partial t},
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Edição das 20h59min de 24 de outubro de 2017

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

,

onde é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., , é o fluxo de densidade e é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, é diagonal e dada por:

,

onde é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com , temos a equação de adveção:

,

onde é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma , representando uma onda se movendo na direção .\\

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial² u}{\partial t²} = v² \frac{\partial² u}{\partial x²}. }

E admite duas soluções, representadas por pulsos, e .\\

Assumindo que na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\hspace'): {\displaystyle k = v \hspace{0.3mm} \frac{\partial u}{\partial x}, s = \frac{\partial u}{\partial t}, }

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: ,

onde