Grupo2 - Ondas1

Introdução

A modelagem numérica vem se tornando cada vez mais uma ferramenta indispensável para um engenheiro. Tal modelagem pode trazer informações importantes para entender como melhor abordar o desenvolvimento de um projeto, neste caso, um que envolva ondas. Nós, como futuros engenheiros físicos, pensamos em trazer um problema mais "concreto", de engenharia costeira e portuária, que pode ou não surgir em nossas vidas profissionais mas cujo método de solução certamente estará presente. Aqui será apresentado um modelo baseado em uma condição inicial e um perfil topográfico do local estudado que descreve a evolução temporal de uma onda.

Nos métodos a seguir faremos a seguinte separação na equação da onda, que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Admitindo $c=1$:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial t}}{\Big )}={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\Big )}$

Uma vez que os métodos citados abaixo são para equações de primeira ordem, é necessário separarmos a equação em um sistema de equações, fazendo a substituição $v={\frac {\partial u}{\partial t}}$ e $w={\frac {\partial u}{\partial x}}$:

$\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {\partial v}{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial x}}\\\\{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial w}{\partial t}}\\\end{array}}\right.$

Algoritmos

Apresentaremos aqui três abordagens diferentes para a solução da equação diferencial parcial apresentada, e após, seus respectivos erros associados.

Método de Lax-Friedrichs

Esse método consiste em discretizar as equações no esquema FTCS, ou seja:

$v_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {v_{j-1}^{n}+v_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j-1}^{n})$

$w_{j}^{n+1}={\Big (}{\frac {w_{j-1}^{n}+w_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(v_{j+1}^{n}-v_{j-1}^{n})$

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n}\Delta t$

Aqui agora vamos unir todas as equações para que no programa possamos iterar apenas uma equação ao invés de 3.

$u_{j}^{n+1}=u_{j}^{n}+{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n}+u_{j+1}^{n}}{2}}{\Big )}-{\Big (}{\frac {u_{j-1}^{n-1}+u_{j+1}^{n-1}}{2}}{\Big )}+{\frac {\Delta t^{2}}{4\Delta x^{2}}}{\Big (}u_{j-2}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j+2}^{n-1}{\Big )}$

Leap-Frog

Para v temos:

${\frac {v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}}{\Delta t}}={\frac {w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n}}{\Delta x}}$

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}=v_{j}^{n-{\frac {1}{2}}}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}(w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}-w_{j-{\frac {1}{2}}}^{n})$

Para w temos:

${\frac {v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}}{\Delta x}}={\frac {w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}-w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}}{\Delta t}}$

$w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=w_{j+{\frac {1}{2}}}^{n}+{\frac {\Delta t}{\Delta x}}{\Big (}v_{j+1}^{n+{\frac {1}{2}}}-v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}{\Big )}$

Para u temos:

$v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {\partial u}{\partial t}}{\Big |}_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {u_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}-u_{j}^{n}}{\Delta t}}$

$u_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}=u_{j}^{n}+v_{j}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t$

Juntando todas elas temos:

$u_{j}^{n+1}=2u_{j}^{n}-u_{j}^{n-1}+{\frac {(\Delta t)^{2}}{(\Delta x)^{2}}}(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n})$

Método de Lax-Wendroff de Dois Passos

$v_{j+{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j+1}^{n}+v_{j}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j+1}^{n}-w_{j}^{n})$

$v_{j-{\frac {1}{2}}}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}(v_{j}^{n}+v_{j-1}^{n})+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(w_{j}^{n}-w_{j-1}^{n})$

Juntando para w:

$w_{j}^{n+1}=w_{j}^{n}+{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}$

Análise de erros e estabilidade

A análise de erros se torna mais evidente durante a escolha do parâmetro k, onde k = dt/dx. Valores grandes trazem pouca acurácia, e valores pequenos necessitam de muito poder de computação (tempo e dinheiro). Trazemos problemas mais simplificados como um "guia" de escolha do parâmetro.

A partir do cálulo da solução analítica da equação da onda, podemos calcular quanto o valor obtido pelos métodos difere da solução real, o que leva a uma visualização do erro corrente em cada método de integração.

• GRAFICO ERROS X K*

Podemos observar a ordem com que os erros crescem à medida que o parâmetro k se torna maior. Lembrando que os valores da constante são determinados pela discretização do espaço e do tempo.

• GRAFICO DAS ENERGIA X T*

Simulação de Propagação de Onda 2D Dependente de Topografia

O modelo mais simples parte da equação da onda [1], acrescentando o termo $H(x,y,t)$.

• EQUAÇÃO*,

Sendo $H(x,y,t)$ uma representação da profundidade em águas calmas. Em uma situação real, pode-se obtê-la por mapeamento eletrônico do terreno por sistema de sonar.

Como primeira abordagem , a integração da equação em 1D (mesmo sendo uma situação muito idealizada) já traz resultados interessantes. Podemos observar, por exemplo, que a amplitude da onda cresce perto da costa. Esta informação por si só ajuda na construção de proteção contra quebra de ondas, pois é obtido o tamanho que as mesmas atingem.

É importante notar o quão poderosa é a integração de equações parciais na vida de um engenheiro.

A dependencia em $t$ de $H(x,y,t)$ permite um modelo no qual o terreno se modifica com o tempo. Isto é, pode-se observar o efeito que o deslocamento de placas tectônicas, deslizamentos, e até explosões provocam no comportamento das ondas na costa de um país e o reconhecimento de áreas críticas.

Simulação em 2D de ondas em águas com profundidade constante, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com profundidade constante, visão em ângulo

Simulação em 2D de ondas em águas com gaussiana na origem, visão de cima

Simulação em 2D de onda em águas com gaussiana na origem, visão em ângulo

Bibliografia

¹"The Wave Equation in 1D and 2D," por Knut–Andreas Lie, Dept. of Informatics, University of Oslo; disponível em: [1]; Último acesso em 23/10/2017.

²"Digital terrain mapping of the underside of sea ice from a small AUV," por Wadhams, M. J. Doble; disponível em: DOI: 10.1029/2007GL031921 ; Último acesso em 23/10/2017.