Modelo Brusselator de Reação-Difusão

Grupo: Carolina Lenzi, Eric Naiber e Vitória Xavier

Figura 1: Variação da concentração em um recipiente de 100x100. Áreas em amarelo correspondem a uma grande quantidade de reagente U.

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de reação-difusão Brusselator em duas dimensões, frequentemente utilizado para estudar sistemas complexos químicos e biológicos. O modelo é um sistema não linear de equações diferenciais parciais e foi proposto em 1970 por Ilya Prigogine e seus colaboradores da Universidade Livre de Bruxelas. Desde então tem sido aplicado para analisar reações oscilatórias e autocatalíticas. O método computacional utilizado para implementar o modelo foi o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Modelo de Brusselator

Figura 2: O gráfico da esquerda mostra a variação dos reagentes U e V dentro do sistema. Levando em consideração o gráfico "Reação-Difusão", note que quando U e V se anulam temos um mínimo no gráfico da esquerda. No gráfico da direita podemos perceber este comportamento, quando o ponto está em um mínimo, a quantidade de U sobe rapidamente, fazendo com que o gráfico fique com muitos pontos amarelos.

O estudo de sistemas químicos e biológicos frequentemente requer o uso de modelos que caracterizam reações de reação-difusão. Um dos modelos mais utilizados é o modelo de Brusselator, que é utilizado para descrever o mecanismo químico de reação-difusão com oscilações não lineares. [J. Tyson, Some further studies of nonlinear oscillations in chemical systems, J. Chem. Phys. 58 (1973) 3919.] Turing [ref?] observou que quando determinadas reações são associadas a difusão, é possível obter um padrão espacial estável, e isso leva a teoria de morfogênese. Além de processos de reação-difusão, o modelo Brusselator é observado em reações enzimáticas e na física de plasma e de lasers.

O mecanismo de Brusselator proposto por Prigogine (1970) é dado por [I. Prigogine, R. Lefever, Symmetries breaking instabilities in dissipative systems II. J. Phys. Chem. 48, 1695–1700 (1968)]:

$A\to U$ (1.a)

$B+U\to V+D$ (1. b)

$2U+V\to 3U$ (1.c)

$U\to E$ (1.d)

Onde U e V são as espécies químicas de interesse. Assumimos A e B em excesso para que o sistema não atinja o equilíbrio. Esse sistema químico foi importante para o avanço na área de sistemas complexos porque possibilita o uso de modelos matemáticos de duas dimensões, já que U e V são variáveis dependentes, e admite “limit-cycle oscilations”. [ R. Lefever and G. Nicolis, Chemical instabilities and sustained oscillations, J. Theor. Biol. 30 (1971) 267.].

Figura 3: Relação entre concentrações e o diagrama de fase.

As equações diferenciais parciais associadas com o sistema Brusselator são dadas por(G. Adomian, The diffusion-Brusselator equation. Comput. Math. Appl. 29, 1–3 (1995)):

$\frac{\partial u}{\partial t}=a+u^{2}v-(b+1)u+D_u(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})$

$\frac{\partial v}{\partial t}=bu-u^{2}v+D_v(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2})$

onde $u(x,y,t)$ e $v(x,y,t)$ são as concentrações a serem investigadas em função de tempo e espaço, $a$ e $b$ são constantes relativas às concentrações dos reagentes A e B, e $D_u$ e $D_v$ constantes de difusão.

A solução analítica do sistema reação-difusão Brusselator ainda não é conhecida e por isso há o interesse de explorá-la numericamente.

Análise da estabilidade do sistema

Análise de ponto crítico

Considerando o sistema livre de difusão, quando $\partial x=\partial y=0$:

$\frac{du}{dt}=f(u,v)=a+u^{2}v-(b+1)ut<0u(0)=U^0$

$\frac{dv}{dt}=g(u,v)=bu-u^{2}vt<0v(0)=V^0$

Onde $u=u(t)$ e $v=v(t)$ e $a$ e $b$ são constantes positivas e reais. A matriz jacobiana $J^{*}$ no ponto crítico $(u^{*},v^{*})$ é dada por

$J^{*}=\left[\begin{array}{cc}b-1& a^2\\ -b& -a^2\end{array}\right]$

Os autovalores de $J^{*}$ são os valores $\lambda$ que satisfazem a equação caracterísitca

${\lambda }^2+(1-b+a^2)\lambda +a^2=0$

Os autovalores claramente mostram dependência em $1-b+a^2$ e no determinante $\mathrm{\Delta }=(1-b+a^2{)}^2-4a^2$. Esses autovalores governam a estabilidade do ponto crítico ou determinam a existência de um ciclo limite. As propriedades de estabilidade ou a existência de um ciclo limite estão sumarizadas na tabela abaixo, em relação a figura 1.

[[Arquivo:]]

Utilizando a teoria Hopf, é mostrado que o ponto crítico perde sua estabilidade quando A e B movem da região 2 para região 3, na figura 1, atravessando a curva $1-b+a^2=0$. Uma bifurcação Hopf ocorre quando ao passo que essa curva é atravessada e um ciclo limite estável existe para A e B nas regiões 1 e 2, mas não para A e B nas regiões 3 e 4.

Conclui-se que a curva $1-b+a^2=0$ governa a estabilidade do sistema.

Análise de ponto fixo

O estado estacionário do sistema pode ser encontrado igualando o coeficiente de difusão, e portanto as derivadas parciais, a zero. Percebe-se que esse sistema converge para os pontos fixos:

$u=a$

$v=\frac{b}{a}$

Em [twizell] a manipulação da matriz jacobiana nos pontos fixos resulta nos seguintes autovalores

${\mu }_1=\frac{1+\frac{1}{2}\ell (1-b+a^2)-\frac{1}{4}{\ell }^2{a}^2}{1+\frac{1}{2}\ell (1-b+a^2)+\frac{1}{4}{\ell }^2{a}^2}$

${\mu }_2=\frac{1-\frac{1}{2}\ell (1-b+a^2)-\frac{1}{4}{\ell }^2{a}^2}{1+\frac{1}{2}\ell (1-b+a^2)+\frac{1}{4}{\ell }^2{a}^2}$

Onde fica claro que os denominadores dos autovalores são sempre positivos quando $1-b+a^2>0$ and $\ell >0$. As inequações

$|{\mu }_1|<1$ e $|{\mu }_2|<1$

São verdadeiras sempre que $1-b+a^2=0$. Portanto, uma condição suficiente para o ponto fixo $(a,\frac{b}{a})$ atrair a sequência gerada pelo sistema é $1-b+a^2>0$.

Ainda em [Twizell] o modelo reação-difusão Brusselator foi discretizado e a análise dos pontos fixos concluiu que o sistema converge para $u(x,t)=a$ e $v(x,t)=\frac{b}{a}$, sendo esse o único estado estacionário do sistema.

Concluiu que também que o sistema apresenta estado oscilatório quando

$1-b+a<0$

Estado em que o sistema não converge para nenhum ponto.

Método FTCS

O FTCS (Forward Time Centered Space) é um método de diferença finita que utiliza a derivada à direita ("para frente") no tempo e a derivada segunda centralizada no espaço para discretizar as variáveis. As derivadas no tempo e no espaço bidimensional ficam:

$\frac{\partial f(x,y,t)}{\partial t}\to \frac{f(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-f(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{t}^2)$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y,t)}{\partial x^2}\to \frac{f(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{x}^3)$

$\frac{{\partial }^{2}f(x,y,t)}{\partial y^2}\to \frac{f(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)}{(\mathrm{\Delta }y{)}^2}+{𝒪}(\mathrm{\Delta }{y}^3)$

Substituindo nas equações do Brusselator

$\frac{u(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-u(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}=f(u,v)+D_u(\frac{u(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)-2u(x,y,t)+u(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+\frac{u(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)-2u(x,y,t)+u(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)}{(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$

$\frac{v(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-v(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}=g(u,v)+D_v(\frac{v(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)-2v(x,y,t)+v(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+\frac{v(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)-2v(x,y,t)+v(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)}{(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$

onde $f(u,v)$ e $g(u,v)$ são as funções que representam a reação sem difusão.

Utilizamos discretização do tipo

$t=0,1\mathrm{\Delta }t,2\mathrm{\Delta }t,3\mathrm{\Delta }t,...,t_{max}$

$x=0,1\mathrm{\Delta }x,2\mathrm{\Delta }x,3\mathrm{\Delta }x,...,N_x$

$y=0,1\mathrm{\Delta }y,2\mathrm{\Delta }y,3\mathrm{\Delta }y,...,N_y$

Utilizando a notação $f(i\mathrm{\Delta }x,j\mathrm{\Delta }y,n\mathrm{\Delta }t)=f_{i,j}^n$, assumindo $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }s$ e rearranjando os termos, reescrevemos as equações como

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^n+f(u_{i,j}^n,v_{i,j}^n)\mathrm{\Delta }t+K_u(u_{i-1,j}^n+u_{i+1,j}^n+u_{i,j-1}^n+u_{i,j+1}^n-4u_{i,j}^n)$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^n+g(u_{i,j}^n,v_{i,j}^n)\mathrm{\Delta }t+K_v(v_{i-1,j}^n+v_{i+1,j}^n+v_{i,j-1}^n+v_{i,j+1}^n-4v_{i,j}^n)$

onde $K_u=\frac{D_u\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}$ e $K_v=\frac{D_v\mathrm{\Delta }t}{(\mathrm{\Delta }s{)}^2}$.

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Resultados

Nos gráficos foram utilizados os valores abaixo:

Tabela de Constantes e Valores
Símbolo	Nome	Valor
$N_x$	Dimensão analisada ao longo do eixo x.	50
$N_y$	Dimensão analisada ao longo do eixo y.	50
$a$	Constante relativa à concentração dos reagentes.	1
$b$	Constante relativa à concentração dos reagentes.	1,7
$u_0$	Concentração no tempo inicial (t=0).	1
$v_0$	Concentração no tempo inicial (t=0).	2
$dt$	Passo entre iterações.	0.1
$ds$	Unidade de avanço dos eixos no espaço.	1
$D_u$	Constante de difusão referente à u.	0.1
$D_v$	Constante de difusão referente à v.	1
$k_u$	Constante de estabilidade do sistema referente à u.	-
$k_u$	Constante de estabilidade do sistema referente à v.	-

Implementação

O método foi implementado em Python, considerando $\mathrm{\Delta }t=0.1,\mathrm{\Delta }s=1,N_x=N_y=50$, variando as constantes $a$ e $b$ e as condições iniciais do problema.

• Código completo no GitHub[1]

"""
Esta é uma versão reduzida do código, sem a parte da formação dos gifs e de algumas imagens.
Para a versão oficial utilizada no trabalho, acesse o GitHub forncecido.
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constantes
Nx = Ny = 25
a = 1
b = 1.7

# Valores iniciais
u0 = 1
v0 = 2
t = 0

# Constantes do sistema
t_max = 40
dt = 0.1
ds = 1

# Constantes dos reagentes e da estabilidade
Du = 0.1
Dv = 1
ku = Du * dt / (ds ** 2)
kv = Dv * dt / (ds ** 2)


# Pedaço da equação sem derivada parcial
def f(u, v):
    return a - (b + 1) * u + u * u * v


# Pedaço da equação sem derivada parcial
def g(u, v):
    return b * u - u * u * v


# vetores no tempo n
u_n = np.zeros((Nx, Ny))
v_n = np.zeros((Nx, Ny))

# vetores no tempo n+1
u_n1 = np.zeros((Nx, Ny))
v_n1 = np.zeros((Nx, Ny))

# Nove pontos centrais (u0)
mid = int(Nx / 2)  # Centro
mov = int(Nx / 4)  # Movendo para cima e para os lados
u_n[mid, mid] = u_n[mid + mov, mid + mov] = u_n[mid + mov, mid] = u_n[mid, mid + mov] = u_n[mid + mov, mid - mov] = u0
u_n[mid - mov, mid - mov] = u_n[mid - mov, mid] = u_n[mid, mid - mov] = u_n[mid - mov, mid + mov] = u0

# Toda a borda (v0)
for i in range(Nx):
    v_n[0, i] = v0
    v_n[i, 0] = v0
    v_n[Nx - 1, i] = v0
    v_n[i, Nx - 1] = v0

# Algumas listas são extras, não precisam realmente estar ali, estão apenas para organização.
lista_t = []
lista_u = []
lista_v = []

# Calculando concentrações com FTCS
while t < t_max:
    for i in range(Nx):
        i_e = (i - 1) % Nx  # vizinho a esquerda de 0 é o da ultima posicao
        i_d = (i + 1) % Nx  # vizinho a direita da ultima posicao é o zero

        for j in range(Ny):
            j_e = (j - 1) % Ny
            j_d = (j + 1) % Ny

            u_n1[i, j] = u_n[i, j] + dt * f(u_n[i, j], v_n[i, j]) \
                         + ku * (u_n[i_e, j] + u_n[i_d, j] + u_n[i, j_e] + u_n[i, j_d] - 4 * u_n[i, j])
            v_n1[i, j] = v_n[i, j] + dt * g(u_n[i, j], v_n[i, j]) \
                         + kv * (v_n[i_e, j] + v_n[i_d, j] + v_n[i, j_e] + v_n[i, j_d] - 4 * v_n[i, j])

    lista_u.append(u_n1[0][0])
    lista_v.append(v_n1[0][0])

    # atualizar u_n e v_n
    for i in range(Nx):
        for j in range(Ny):
            u_n[i, j] = u_n1[i, j]
            v_n[i, j] = v_n1[i, j]

    t += dt
    lista_t.append(t)

    print(f'{round(t / t_max * 100, 3)}%')

plt.plot(lista_t, lista_u, color='red', label='u(t)')
plt.plot(lista_t, lista_v, color='blue', label='v(t)')
plt.grid(True)
plt.suptitle(f'Reação-Difusão')
plt.title(f'$u_0$ = {u0} | $v_0$ = {v0} | a = {a} | b = {b}')
plt.xlabel('Tempo')
plt.ylabel('Concentrações')
plt.legend()
plt.savefig('Reação-Difusão')
plt.show()