Grupo5 - Eq. Schroedinger

A evolução temporal do estado quântico $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$

Posto em unidades atômicas (onde $m_{e}$ e $\hbar$ são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[{\frac {i}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-iV(x)\right]\Psi (x,t)$

Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de ${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}$:

${\frac {\Psi _{j-1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j+1}^{n}}{\left(\Delta x\right)^{2}}}$

e as discretizações de ${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}$ (explícita e implícita, respectivamente):

${\frac {\Psi _{j}^{n+1}-\Psi _{j}^{n}}{\Delta t}},\quad {\frac {\Psi _{j}^{n}-\Psi _{j}^{n-1}}{\Delta t}}$

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

$a\Psi _{j-1}^{n+1}+b_{j}\Psi _{j}^{n+1}+a\Psi _{j+1}^{n+1}=a^{*}\Psi _{j-1}^{n}+b_{j}^{*}\Psi _{j}^{n}+a^{*}\Psi _{j+1}^{n},$ onde

$a\equiv -{\frac {i\Delta t}{4(\Delta x)^{2}}}$ e $b_{j}\equiv 1+{\frac {i\Delta t}{2}}\left[{\frac {1}{(\Delta x)^{2}}}+V(j\Delta x)\right]$.

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale $\Psi _{0}^{n}=\Psi _{j_{max}}^{n}$ para todo $n$ (ou, para as bordas $a$ e $b$ há a relação $\Psi (a,t)=\Psi (b,t)$ para todo $t$).

Já a condição inicial é arbitrária, pois define o estado inicial do sistema que queremos tratar. Fazendo uma referência ao tratamento de sistemas clássicos, seria como definir posição e momento iniciais. É claro que, para ter o sentido físico de uma função de onda, deve-se ter o cuidado de criar uma condição inicial normalizada, satisfazendo

$\int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Psi (x,0)\right|^{2}\,dx=1$

bastando, então, inseri-la no programa.