Grupo5 - Eq. Schroedinger

A evolução temporal do estado quântico $\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐫},t)$ é dada pela equação de Schrödinger, a qual é postulada como [citação do Cohen, descobrir como fazer a citação]:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐫},t)=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(\mathbf{𝐫},t)]\mathrm{\Psi }(\mathbf{𝐫},t)$

Posto em unidades atômicas (onde $m_e$ e $\hslash$ são unitários), o caso unidimensional de um elétron num potencial independente do tempo reduz-se a:

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(x,t)=[\frac{i}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-iV(x)]\mathrm{\Psi }(x,t)$

Método numérico

Buscando resolver a equação numericamente, tem-se a discretização de $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}$:

$\frac{{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n-2{\mathrm{\Psi }}_j^n+{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n}{{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2}$

e as discretizações de $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$ (explícita e implícita, respectivamente):

$\frac{{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}-{\mathrm{\Psi }}_j^n}{\mathrm{\Delta }t},\frac{{\mathrm{\Psi }}_j^n-{\mathrm{\Psi }}_j^{n-1}}{\mathrm{\Delta }t}$

Tanto no método explícito quanto no método implícito não é conservada a norma do estado (o que é estritamente necessário, já que o estado pode ser interpretado como uma onda de probabilidade). Por esse motivo, utiliza-se o método de Crank-Nicolson, o qual tem essa propriedade \cite{enswork}.

O método de Crank-Nicolson consiste em uma média aritmética dos métodos explícito e implícito. Excetuando manipulações algébricas triviais, verifica-se que a relação de recorrência do método é dada por:

$a{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^{n+1}+b_j{\mathrm{\Psi }}_j^{n+1}+a{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^{n+1}=a^{*}{\mathrm{\Psi }}_{j-1}^n+b_j^{*}{\mathrm{\Psi }}_j^n+a^{*}{\mathrm{\Psi }}_{j+1}^n,$ onde

$a\equiv -\frac{i\mathrm{\Delta }t}{4(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ e $b_j\equiv 1+\frac{i\mathrm{\Delta }t}{2}[\frac{1}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}+V(j\mathrm{\Delta }x)]$.

A integração numérica depende, portanto, do potencial em que o elétron está sujeito, bem como da sua condição inicial e suas das condições de contorno.

Que condições podemos impor para a fronteira? Quando se trata do problema analiticamente, costuma-se considerar que a função de onda tende a zero no infinito. Numericamente, pode-se fazer uma transposição disso, criando uma condição para bordas em pontos suficientemente distantes do centro da distribuição da função de onda, igualando-as a zero. Outra forma de tratar o problema numericamente é criando condições de contorno periódicas, em que para as bordas vale ${\mathrm{\Psi }}_0^n={\mathrm{\Psi }}_{j_{max}}^n$ para todo $n$ (ou, para as bordas $a$ e $b$ há a relação $\mathrm{\Psi }(a,t)=\mathrm{\Psi }(b,t)$ para todo $t$).