Modelo de Gray-Scott: mudanças entre as edições

Edição das 20h31min de 19 de fevereiro de 2022

Análise de estabilidade

Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.

A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis.

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Estado de Equilíbrio Trivial

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F, k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u}, D_{v}$ . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ para quaisquer valores positivos dos parâmetros.

Demonstração. O sistema de equações do modelo, com $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ e $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ , fazendo $D_{u} = D_{v} = 0$ , é dado por

$0 = - u v^{2} + F (1 - u)$

$0 = u v^{2} - (F + k) v (1)$

Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ . Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana $J |_{(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} = (\begin{array}{cc} - F & 0 \\ 0 & - F - k \end{array})$ possui traço negativo e determinante positivo^[1].

Se agora incluímos os termos de difusão $D_{u}$ e $D_{v}$ , deve-se levar em consideração a matriz $(J - D ω^{2}) |_{f = f_{e q}}$ . Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $ω$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência^[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ :

$((\begin{array}{cc} - F - v^{2} & - 2 u v \\ v^{2} & - F - k + 2 u v \end{array}) - (\begin{array}{cc} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{array}) ω^{2}) |_{(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} = (\begin{array}{cc} - F - D_{u} ω^{2} & 0 \\ 0 & - F - k - D_{v} ω^{2} \end{array})$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então

$(F + D_{u} ω^{2}) (F + k + D_{v} ω^{2}) > 0$

$- 2 F - (D_{u} + D_{v}) ω^{2} - k < 0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ . Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos).

Estados de Equilíbrio Não Triviais

Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ , devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).^[2]

Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição $F \geq 4 (F + k)^{2}$ , são $(u_{+}, v_{-})$ e $(u_{-}, v_{+})$ , com

$u_{\pm} = \frac{1}{2} (1 \pm \sqrt{1 - 4 γ^{2} F})$

$v_{\mp} = \frac{1}{2 γ^{2}} (1 \mp \sqrt{1 - 4 γ^{2} F})$

$γ = \frac{F + k}{F}$

Referências

↑ ^1,0 ^1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
↑ Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.

[Sayama260-1] 1,0 ^1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[Wang-2] Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.

[1]

[2]

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-==Análise de estabilidade==
+== Análise de estabilidade ==
-O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math>. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
+Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.
-'''Afirmação''': O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
+A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis.
-'''Demonstração''': Resolvendo o sistema de equações do modelo com <math>\frac{\partial u}{\partial t} = 0</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial t} = 0</math> e fazendo <math>D_{u} = D_{v} = 0</math>, temos
+'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.
-<math>0 = -uv^2 + F(1-u)</math>
+=== Estado de Equilíbrio Trivial ===
-<math>0 = uv^2 - (F+k)v</math>
+O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math>. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores positivos dos parâmetros.
+'''Demonstração'''. O sistema de equações do modelo, com <math>\frac{\partial u}{\partial t} = 0</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial t} = 0</math>, fazendo <math>D_{u} = D_{v} = 0</math>, é dado por
-É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
-Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz
+<math>0 = -uv^2 + F(1-u)</math>
+<math>0 = uv^2 - (F+k)v \quad (1)</math>
-<math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}</math>
+Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>. Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana <math>J|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}\right)</math> possui traço negativo e determinante positivo<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>.
-Aqui, <math>J</math> é a matriz jacobiana dos termos de reação, <math>D</math> é a matriz diagonal dos termos de difusão e <math>\omega</math> é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>
+Se agora incluímos os termos de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>, deve-se levar em consideração a matriz <math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}</math>. Aqui, <math>J</math> é a matriz jacobiana dos termos de reação, <math>D</math> é a matriz diagonal dos termos de difusão e <math>\omega</math> é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>:
-<math>\left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2  \right) \Bigg|_{(u,v) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right)  </math>
+<math>\left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2  \right) \Bigg|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right)  </math>
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-Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. Portanto, o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.
+Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. Portanto, o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos).
+=== Estados de Equilíbrio Não Triviais ===
+Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>, devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).<ref name=Wang>Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.</ref>
-Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>, devem então existir outros estados de equilíbrio e pelo menos um deles deve ser instável para determinados valores dos parâmetros. De fato, há outros dois estados de equilíbrio.<ref name=Wang>Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.</ref>
-Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, ditos não triviais, são <math>(u_{+},v_{-})</math> e <math>(u_{-},v_{+})</math>, com
+Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição <math>F\geq4(F+k)^2</math>, são <math>(u_{+},v_{-})</math> e <math>(u_{-},v_{+})</math>, com
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 <math>\gamma = \frac{F + k}{F}</math>
-Esses estados são de equilíbrio quando <math>F\geq4(F+k)^2</math>.
 == Referências ==
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