Algoritmo de Wang-Landau

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica $g(E)e^{-E/k_{B}T}$ a uma dada temperatura $T$, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados $g(E)$ diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia $H(E)$.

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados $g(E)$ não pode ser determinada para sistemas maiores . Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a $g(E)$ a partir de um passeio aleatório. A estimativa para $g(E)$ é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação $f$ cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, $g(E)$ é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir $g(E)=1$ para todas as energias possíveis $E$. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia $E$ é visitada, o histograma $H(E)$ é incrementado em 1. A estimativa de $g(E)$ é então modificada por um fator multiplicativo $f$, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de $E$.

Se $E_1$ e $E_2$ são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia $E_1$ para $E_2$ é dada por

$p(E_1\to E_2)=min(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1).$

A razão das probabilidades de transição de $E_1$ para $E_2$ e de $E_2$ a $E_1$ podem ser calculados como

$\frac{p(E_1\to E_2)}{p(E_2\to E_1)}=\frac{g(E_1)}{g(E_2)}.$

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

$\frac{1}{g(E_1)}p(E_1\to E_2)=\frac{1}{g(E_2)}p(E_2\to E_1),$

onde $1/g(E1)$ é a probabilidade na energia $E_1$ e $p(E_1\to E_2)$ é a probabilidade de transição de $E_1$ para $E_2$.

Se o estado de energia $E_2$ é aceito, a densidade de estados $g(E_2)$ é multiplicada pelo fator de modificação $f>1$ de maneira que $g(E_2)\to f\times g(E_2)$ e a entrada no histograma para $H(E_2)$ é atualizada de forma $H(E_2)\to H(E_2)+1$. Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados $g(E_1)$ é multiplicada pelo fator de modificação, $g(E_1)\to f\times g(E_1)$ e $H(E_1)$ é atualizada de forma $H(E_1)\to H(E_1)+1$.

Flatness

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma $H(E)$ estar reto (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada $n$ iterações verificamos se todos valores possíveis de $E$ estão a uma distância, no máximo, $x\mathrm{\%}$ de $⟨H(E)⟩$. A variável $x$ é denominada "flatness". Quando o histograma está reto, todos estados de energia foram visitados aproximadamente igualmente.

O número de passos, </math> n </math> que devemos realizar antes de checar deve ser maior que $L*L$ onde $L$ indica o tamanho da rede, para que o algoritmo tenha a oportunidade de visitar cada estado pelo menos uma vez.

Para sistemas simples, podemos utilizar um valor tão alto quanto 95%, entretanto, para este trabalho foi escolhido o valor de 80%.

Fator de modificação

Em geral, como $g(E)$ se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, $\ln g(E)$. Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por $\ln g(E)\to \ln g(E)+\ln f$. O valor comumente utilizado para o fator de modificação é $f=f_0=e$.

Quando o histograma é considerado reto, pelas condições descritas acima, reduzimos o valor de $f$ de forma que o novo valor será $f_1=f_0/2$, resetamos o histograma $H(E)$ e recomeçamos o passeio aleatório.

A simulação é parada para um valor de $f$ predeterminado. No caso, usamos $f_{final}=\exp (10^{-8})=1.00000001$.

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho $L\times L$ que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo Cada sítio pode ter o valor de spin $+1$ ou $-1$.

Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por ${\mathscr{H}}=-\sum _{⟨i,j⟩}{\sigma }_i{\sigma }_j$ onde $⟨i,j$ indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.

Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:

Energia interna:

$U(T)=\frac{\sum _{E}Eg(E)e^{-E/k_{B}T}}{\sum _{E}g(E)e^{-E/k_{B}T}}=⟨E⟩$

Calor específico:

$C(T)=\frac{\partial U(T)}{\partial T}=\frac{⟨E^2⟩-⟨E{⟩}^2}{k_B{T}^2}$

Energia livre de Helmoltz:

$F(T)=-k_{B}T\ln (Z)=-k_{B}T\ln (\sum _{E}g(E)e^{-E/k_{B}T})$

Entropia:

$S(T)=\frac{U(T)-F(T)}{T}$

Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:

$P(E,T)=g(E)e^{-E/k_{B}T}$

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Defino $g(E)=1$ para todos $E$ e o fator de modificação inicial $f_0=e$;

2. Aleatoriamente, escolho um spin e troco o seu valor. Aceito a transição com probabilidade $p(E_1\to E_2)=min(g(E_1)/g(E_2),1)$;

3. Modifico a densidade de estados $g(E)\to g(E)\times f$ e atualizo o histograma $H(E)$;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de $\ln f$ pela metade e reseto o histograma $H(E)$;

5. Repito os passos 2-4 até $f<1.00000001$.

6. Obtendo a $g(E)$, posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.

Resultados

Discutir a densidade de estados

Figura 1: Logaritmo da densidade de estados $\ln g(E)$ do modelo de Ising 2D com $L=16$.

Discutir a distribuição canônica

Figura 2: Distribuição canônica $P(E,T_c)=g(E)e^{-E/k_B{T}_c}$ na temperatura de transição do modelo de Ising 2D com $L=16$ e $k_B{T}_c=2.3$.

Figura 3: Distribuição canônica $P(E,T)=g(E)e^{-E/k_{B}T}$ nas temperaturas $T=2.2$ e $T=2.4$ do modelo de Ising 2D com $L=16$.

Discutir as quantidades termodinâmicas

Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com $L=16$ calculado a partir da densidade de estados $g(E)$. Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos inset são os erros relativos.

Referências

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