Algoritmo de Wang-Landau

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Novembro de 2021

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica $g(E)e^{-E/k_{B}T}$ a uma dada temperatura $T$, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados $g(E)$ diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia $H(E)$.

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados $g(E)$ não pode ser determinada para sistemas maiores . Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a $g(E)$ a partir de um passeio aleatório. A estimativa para $g(E)$ é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação $f$ cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, $g(E)$ é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir $g(E)=1$ para todas as energias possíveis $E$. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado.

Cada vez que uma energia $E$ é visitada, a entrada correspondente em $H(E)$ é incrementada em 1. A estimativa de $g(E)$ é então modificada por um fator multiplicativo $f$, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de $E$.

Se $E_1$ e $E_2$ são energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia $E_1$ para $E_2$ é

$p(E_1\to E_2)=min(\frac{g(E_1)}{g(E_2)},1).$

A razão das probabilidades de transição de $E_1$ para $E_2$ e de $E_2$ a $E_1$ podem ser calculados como

$\frac{p(E_1\to E_2)}{p(E_2\to E_1)}=\frac{g(E_1)}{g(E_2)}.$

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

$\frac{1}{g(E_1)}p(E_1\to E_2)=\frac{1}{g(E_2)}p(E_2\to E_1),$

onde $1/g(E1)$ é a probabilidade na energia $E_1$ e $p(E_1\to E_2)$ é a probabilidade de transição de $E_1$ para $E_2$.

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Seto $g(E)=1$ e um fator de modificação $f=e$;

2. Aleatoriamente, flipo um spin com probabilidade $p(E_1\to E_2)=min(g(E_1)/g(E_2),1)$;

3. Modifico a densidade de estados $g(E)\to g(E)\times f$ e atualizo o histograma $H(E)$;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de $f$ e reseto o valor de $H(E)$;

5. Repito 2-4 até $\ln f\approx 1$.

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

Uma rede 2D que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo.

Cada sítio pode ter o valor de spin $+1$ ou $-1$.

O hamiltoniano pode ser calculado por

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨ij⟩}{\sigma }_i{\sigma }_j$

A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos e a interação é ferromagnética para $J>0$ e antiferromagnética para $J<0$.

Resultados

Referências

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