Algoritmo de Wang-Landau: mudanças entre as edições

Edição das 22h31min de 28 de novembro de 2021

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica $g (E) e^{- E / k_{B} T}$ a uma dada temperatura $T$ , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados $g (E)$ diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia $H (E)$ . -----------REF WANG LANDAU-------- Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados $g (E)$ não pode ser determinada para sistemas maiores ^[1]

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, $g (E)$ é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir $g (E) = 1$ para todas as energias possíveis $E$ . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado.

Cada vez que uma energia $E$ é visitada, a entrada correspondente em $H (E)$ é incrementada em 1. A estimativa de $g (E)$ é então modificada por um fator multiplicativo $f$ , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de $E$ .

Se $E_{1}$ e $E_{2}$ são energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia $E_{1}$ para $E_{2}$ é

$p (E_{1} \to E_{2}) = m i n (\frac{g (E_{1})}{g (E_{2})}, 1) .$

A razão das probabilidades de transição de $E_{1}$ para $E_{2}$ e de $E_{2}$ a $E_{1}$ podem ser calculados como

$\frac{p (E_{1} \to E_{2})}{p (E_{2} \to E_{1})} = \frac{g (E_{1})}{g (E_{2})} .$

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

$\frac{1}{g (E_{1})} p (E_{1} \to E_{2}) = \frac{1}{g (E_{2})} p (E_{2} \to E_{1}),$

onde $1 / g (E 1)$ é a probabilidade na energia $E_{1}$ e $p (E_{1} \to E_{2})$ é a probabilidade de transição de $E_{1}$ para $E_{2}$ .

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Seto $g (E) = 1$ e um fator de modificação $f = e$ ;

2. Aleatoriamente, flipo um spin com probabilidade $p (E_{1} \to E_{2}) = m i n (g (E_{1}) / g (E_{2}), 1)$ ;

3. Modifico a densidade de estados $g (E) \to g (E) \times f$ e atualizo o histograma $H (E)$ ;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de $f$ e reseto o valor de $H (E)$ ;

5. Repito 2-4 até $\ln f \approx 1$ .

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

Uma rede 2D que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo.

Cada sítio pode ter o valor de spin $+ 1$ ou $- 1$ .

O hamiltoniano pode ser calculado por

$ℋ = - J \sum_{⟨ i j ⟩} σ_{i} σ_{j}$

A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos e a interação é ferromagnética para $J > 0$ e antiferromagnética para $J < 0$ .

Implementação

Resultados

↑ Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, P. D. Beale, Phys. Rev. Lett. 76,78, Jan. 1996. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78

[beale-1] Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, P. D. Beale, Phys. Rev. Lett. 76,78, Jan. 1996. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78

[1]

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