Modelos Epidemiológicos

Em construção

Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Luis Gustavo Lang Gaiato

Apresentação

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR (Suscetível, Infectado e Recuperado) e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" utilizando Monte Carlo.

Será apresentada uma breve introdução sobre o tema e as equações que envolvem o desenvolvimento dos cálculos, as implementações e seus respectivos resultados.

Introdução

O objetivo do trabalho é realizar a implementação do modelo SIR e de um modelo simplificado do proposto pelo artigo "An epidemiological model with voluntary quarantine strategies governed by evolutionary game dynamics" utilizando Monte Carlo.

O modelo apresentado por Marco Amaral, et al propõe que o indivíduo escolha adequar-se a alguma estratégia, fazer quarentena ou não, dependendo do risco que observa a partir da quantidade de infectados no sistema. Acoplada à escolha da estratégia, está o modelo SIR; com parâmetros distintos para indivíduos não isolados e isolados. Para a simulação, os autores utilizam a teoria de campo médio, que resulta em ondas de infecção ao longo do tempo.

Neste trabalho, a escolha da estratégia pelo indivíduo se dará de acordo com o estado dos seus vizinhos mais próximos - utilizado o dilema do prisioneiro - enquanto a evolução dos infectados no sistema será realizada com o modelo SIR, assim como no trabalho citado. Para a simulação foi utilizado o método de Monte Carlo.

O esquemático do modelo SIR com a escolha da quarentena pode ser visto na seção Modelo SIR com quarentena voluntária.

Modelos

Modelo SIR

Esquemáto modelo SIR

Em 1927 Kermack e McKendrick elaboraram o modelo SIR que tinha como função descrever o comportamento de uma pandemia . O modelo SIR é um dos mais simples modelos comportamentais, o qual descreve a variação de três parâmetros ao longo do tempo:

• Suscetível (S): Número de indivíduos suscetíveis. Quando um indivíduo suscetível e um infectado entram em contato, o indivíduo suscetível tem uma probabilidade de contrair a doença, caso contraia o indivíduo deixa de ser suscetível e torna-se infectado.

• Infectado (I): Número de indivíduos infectados. Indivíduos infectados tem uma probabilidade de infectar indivíduos suscetíveis quando em contato, e uma probabilidade de tornar-se indivíduos removidos a medida que tempo avança.

• Recuperado ou Removido (R): Número de indivíduos removidos (recuperados ou mortos pela doença). Indivíduos que foram infectados, tornam-se recuperados ou mortos pela doença, desta forma entram na classificação de indivíduos removidos, já que não são mais suscetíveis a pegar a doença, pois adquiriram imunidade. Assumindo que o número de mortos é irrelevante ao se comparar com a população total, então o parâmetro R recebe o nome de indivíduos recuperados ou resistentes.

A dinâmica de uma epidemia geralmente é mais rápida do que os números de nascimentos e óbitos, por essa razão se omite estás quantidades no modelo comportamental simples do SIR. Usando uma população fixa, Kermack e McKendrick chegaram nas seguintes equações diferenciais que descrevem a dinâmica de uma epidemia :

${\frac {dS}{dt}}=-\beta IS\qquad (1)$

${\frac {dI}{dt}}=\beta IS-\gamma I\qquad (2)$

${\frac {dR}{dt}}=\gamma I\qquad (3)$

O sistema descrito pelas equações acima é não linear, porém é possível derivar uma solução analítica de forma implícita .

A população total no SIR é constante, e pode ser expressada pela soma total dos indivíduos suscetíveis, infectados e removidos:

$S+I+R=N\qquad (4)$

Na forma normalizada a expressão (4) é representada por:

$s+i+r=1\qquad (5)$

A taxa de transmissão da doença é dada pela variável beta, está depende de outras duas variáveis. A primeira indica a "transmissibilidade", definida por Tau, a segunda indica o "número médio de contatos" entre infectados e suscetíveis, indicada por "c barra". Portanto, pode-se escrever a taxa de transmissão pela expressão:

$\beta =\tau {\bar {c}}\qquad (6)$

A taxa de remoção da doença, indicada por $\gamma$, é o inverso do período infeccioso, indicada por $d$, que o indivíduo permanecerá doente. Note, que quanto maior o período infeccioso, mais demorada é a remoção de Infectados para Removidos.

$d={\frac {1}{\gamma }}\qquad (7)$

Dinâmica do Modelo SIR e o Número de Reprodução

O número básico de reprodução, $R_{0}$, corresponde ao número médio de pessoas que serão contaminadas pela doença quando um indivíduo infectado é introduzido em uma população completamente suscetível .

$R_{0}={\frac {\beta }{\gamma }}s_{0}\qquad (8)$

Conforme o valor de $R_{0}$ temos o seguinte comportamento :

• $R_{0}>1\Rightarrow$ epidemia crescente;
• $R_{0}=1\Rightarrow$ equilíbrio endêmico;
• $R_{0}<1\Rightarrow$ epidemia decrescente.

Pode-se interpretar melhor o comportamento do número de reprodução analisando a curva $i(s)$. Para obter essa função dividimos a expressão (2) pela expressão (1) na forma normalizada, posteriormente integramos ambos os lados da igualdade, assim chegamos em:

$i(S)={\frac {\gamma }{\beta }}\ln s-{\frac {\gamma }{\beta }}\ln s_{0}-S+i_{0}+s_{0}\qquad (9)$

Derivando a expressão (9) em relação a $s$ observa-se que a função atinge o ponto de máximo quando $S=\beta /\gamma$. Nas situações em que temos $s<\beta /\gamma$ e $s>\beta /\gamma$, obtemos respectivamente o comportamento crescente e decrescente para função $i(S)$. Na sequência é plotada a curva $i(S)$ para diferentes valores de $S_{0}$. Observe que o sentido da abscissa $s$ é negativo para o avanço da pandemia.

Figura

Quando a condição inicial $s_{0}$ está à direita da reta $s=\gamma /\beta$ a epidemia irá aumentar o seu número de infectados, pois $R_{0}$ é menor que S. O número de infectados irá aumentar até o número de indivíduos suscetíveis ser igual a $\gamma /\beta$, posteriormente o número de infectados irá decair. Já quando a condição inicial $S_{0}$ está à esquerda da reta $S=\gamma /\beta$ a epidemia irá diminuir o seu número de infectados, pois $R_{0}$ é menor do que S.

Modelo SIR com quarentena voluntária

Esquemáto modelo SIR com quarentena voluntária em suscetíveis

No esquemático pode-se ver o modelo utilizado no trabalho, ele é uma simplificação do artigo escrito por Amaral, et al . Nele temos:

• Componentes suscetíveis podem estar ou não em quarentena. A probabilidade $\phi _{S}$ para a escolha da quarentena ocorrer depende de quantos infectados há nos vizinhos.

• Ao escolher estar ou não em quarentena, esses componentes têm probabilidades diferentes de adquirir a doença ($\beta _{Q}$ e $\beta _{N}$) e se tornar infectados.

• Infectados possuem a mesma probabilidade de se tornarem recuperados.

• Após recuperados da doença, as pessoas não conseguem adquiri-lá novamente.

• Todos os indivíduos escolhem estar ou não isolados, modificando a escolha do vizinho, mas somente a quarentena dos suscetíveis afeta a evolução SIR.

Para simular a quarentena voluntária é utilizado o jogo definido pelo Dilema do Prisioneiro. Esse dilema descreve a situação em que dois condenados (A e B) precisam decidir se cooperam ou não sem saber a decisão do seu par. Para isso temos quatro possibilidades: A e B cooperam (ambos saem com uma recompensa R), A coopera mas B não coopera (B ficaria com o valor da tentação T e A com o custo do sonso S), o caso contrário onde A não coopera e B coopera e A e B não cooperam (ambos ganham com uma penalidade P).

Essas possibilidades podem ser resumidas em uma matriz de perdas e ganhos (matriz de payoff ou forma normal):

	A coopera	A não coopera
B coopera	R / R	S / T
B não coopera	T / S	P / P

Os valores da matriz payoff devem obedecer a ordem $T>R>P>S$. Além disso, para simulações com várias iterações deve ser obedecido que $2R>T+S$.

A proposta de observar a evolução da infecção dependendo da quarentena precisa utilizar mais de um par de interagentes, por isso é definido uma rede onde cada componente possui um ponto fixo. A partir disso, cada um desses componentes interage com seus quatro vizinhos mais próximos (para os pontos do contorno é utilizado que as bordas são unidas por condições de contorno periódicas).

Segundo Hauert e Szabó , os colaboradores tendem a ser extintos em jogos que consideram a interação aleatória, independente da sua concentração inicial, ou seja, todos tendem a não ganhar nada (não colaborar mutuamente) a fim de reduzir custos. Enquanto isso, se for proposto que um componente só escolhe uma estratégia conforme seus vizinhos, é visto é a formação de clusters de cooperadores e de não cooperadores; com isso, os componentes que estão na borda desses espaços, ganham na interação com os vizinhos colaboradores e perdem com a outra interação.

A probabilidade de escolha pela troca (adquirir a mesma tática que o vizinho) é dada pela equação abaixo. As variáveis são: $S_{vizinho}$ é a performance de um dos vizinhos do sítio (soma dos ganhos e perdas pela matriz payoff), $S_{sitio}$ é a performance do sítio, calculada pela interação entre os seus vizinhos da mesma forma que $S_{vizinho}$ e $k$ é a irracionalidade dos componentes. . Dado um número aleatório entre $0$ e $1$, se este for maior que a probabilidade $p$ o sítio adota a estratégia do vizinho escolhido anteriormente.

$p=[1+exp(-(S_{vizinho}-S_{sitio})/k)]^{-1}$

Esse jogo de quarentena é acoplado ao sistema SIR anteriormente descrito. A única diferença para o SIR sem o jogo é que as probabilidades de um componente $S$ se tornar infectado mudam a partir do seu estado de quarentena.

Implementação

Os códigos da simulação foram implementados na linguagem C, para a visualização foi utilizada a linguagem Python. Ambos scripts estão disponíveis no projeto criado no Replit. Na página também é possível visualizar os fluxogramas para o cálculo.

Implementação modelo SIR

Fluxograma para a dinâmica SIR

Implementação modelo SIR com quarentena voluntária

Algumas modificações são realizadas no código anterior: a probabilidade do indivíduo passar de suscetível a infectado depende da escolha pela quarentena e é adicionada a parte da escolha individual.

A estrutura principal do código é dada pelo laço temporal onde a cada tempo é chamado o modelo SIR e o jogo da quarentena. Antes de entrar no loop é realizada a inicialização do sistema definindo o estado SIR e de quarentena dos indivíduos em vetores distintos e a matriz payoff. A seguir é possível visualizar o fluoxograma para as funções da evolução do SIR e do jogo da quarentena.

No projeto criado no Replit os arquivos utilizados foram versao_viz_quarentena.c para a dinâmica SIR com quarentena voluntária e mc.h para o suporte com os números aleatórios. O primeiro código gerará três arquivos de saída: outup.txt, contendo a evolução temporal do SIR, output_dinamica_sir.txt, com o vetor de indivíduos contendo o estado SIR de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo e output_dinamica_loc.txt, com o vetor de indivíduos contendo o estado de quarentena de cada um, sendo que cada linha corresponde a um tempo. Para realizar a visualização, é utilizado o arquivo visualizacao.py que lê os arquivos gerados e faz os gráficos buscados (note que está separado em blocos por #%%, sendo possível gerar somente algum utilizando softwares como Spyder ou Visual Studio); alguns comandos para geração das animações no gnuplot estão comentados ao longo do código e também podem ser usadas.

Fluxograma para a dinâmica SIR com quarentena

Fluxograma para a quarentena voluntária

Resultados e Discussão

Resultados SIR

colocar aqui o I(s) tambem

Resultados SIR com quarentena voluntária

Para os gráficos abaixo mostrados foram utilizadas os seguintes parâmetros:

Simulação		Dinâmica SIR			Matriz de Payoff
Tempo (passos)	Número de indivíduos	$\beta _{Q}$	$\beta _{N}$	$\gamma$	$T$	$S$	$R$	$P$	$k$
500	60	0.0	0.3	0.6	1.04	0.0	1.0	0.0	0.1

É utilizado que os indivíduos em isolamento estão distribuídos aleatoriamente; inicialmente é proposto uma relação de 1:1 de estados de quarentena que após será testado. A dinâmica SIR sem o jogo é feita colocando que nenhuma pessoa está isolada.

• 

  Comparação da evolução entre os sucetíveis na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada
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  Comparação da evolução entre os infectados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada
• 

  Comparação da evolução entre os recuperados na dinâmica SIR e com parte da população quarentenada

Com esses resultados é possível perceber que a quarentena auxilia na diminuição das infecções em um intervalo de tempo, ainda assim, não é vista a formação de uma segunda onda de contaminação com esses parâmetros.

Para entender o efeito do estado inicial do sistema no modelo, são comparadas as curvas do modelo SIR com quarentena voluntária variando o estado inicial do sistema em relação ao isolamento inicial dos indivíduos. Percebe-se que quando o sistema é iniciado com um total próximo de 80%, existe uma tendência de aumento nos casos após um tempo - por esse motivo será discutido com mais detalhes posteriormente, com 90% de quarentenados a melhor escolha para os indivíduos é se manter em isolamento. Para os outros valores, percebe-se apenas uma diminuição dos casos conforme a fração de isolados. No gráfico, a porcentagem na legenda é de indivíduos em quarentena.

Evolução da doença dependendo da quantidade de indivíduos inicialmente em isolamento

No gráfico acima, foi possível perceber que em torno de 20% de não isolados um comportamento ondulatório de infecções começa a aparecer - esperado para o modelo SIR com quarentena voluntária - no gráfico a seguir é possível ver a evolução dos suscetíveis, infectados e recuperados para esse caso. Em seguida é mostrada a evolução da quantidade de indivíduos quarentenados e infectados.

Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 80% de isolados

Evolução da dinâmica SIR com quarentena voluntária, iniciando com 80% de isolados

Como uma confirmação, é feito uma simulação utilizando 18% da população não isolada e os resultados são mais satisfatórios, pois há maior correlação entre isolamento e infecção, como é possível observar no gráfico abaixo. A evolução também pode ser observada na animação em seguida, onde 0 são os indivíduos em quarentena e 1 os sem quarentena.

Evolução da quantidade de infectados e quarentenados no sistema, iniciando com 82% de isolados

Abaixo é possível ver a evolução de cada componente do sistema no jogo da escolha da quarentena. Na animação dos quarentenados o valor zero é para quarentenados e 1 para não quarentenados. Na animação SIR 2 equivale ao suscetível, 0 é o infectado e 1 são os recuperados.

Para a inicialização com 82% dos indivíduos isolados consegue-se perceber que a infecção se dá nos espaços onde existem mais pessoas fora da quarentena nos primeiros tempos, o resto da população se quarentena e atrasa a sua infecção e de seus vizinhos.

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  Evolução do sistema de quarentena a partir de 80% dos componentes isolados
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  Evolução do sistema SIR a partir de 80% dos componentes isolados

Os resultados obtidos mostram que a quarentena voluntária diminui significativamente o número de infectados em um primeiro momento bem como a taxa de contaminação (em relação ao SIR normal), o que era esperado uma vez que os dados da evolução da Covid-19, em países que conseguiram obter níveis de isolamento adequados, expressam um comportamento semelhante. [referencia pra essa frase]

Outro comportamento observado nos dados da Covid-19, foi o aparecimento de ondas de contaminação, isto é, uma sucessão de aumentos e diminuições na taxa de contaminação ao longo do tempo. Esse comportamento foi atribuído pelo grupo à adesão (ou não) da população à estratégia da quarentena voluntária, fator que dependeria da percepção da pandemia pela população, bem como ao número inicial de indivíduos quarentenados. Assim como observados em outros artigos, esperava-se que esse comportamento fosse replicado nas simulações. Foi observado que tanto os parâmetros da matriz de payoff e os da dinâmica SIR quanto o sistema inicial da quarentena, interferem na evolução da doença de maneiras diferentes, expressando tanto comportamentos ondulatórios quanto similares ao SIR normal. Diferentemente do observado pelo método do campo médio, o comportamento ondulatório foi mais sutil, parecendo representar de maneira mais satisfatória os dados observados para o Covid-19.[referencia pra essa frase]

Próximos Passos

Algumas pendências são deixadas para um futuro trabalho:

• SIR "olhando pros vizinhos"
• Estudar melhor a relação entre parâmetros (SIR e quarentena) e a quantidade inicial de indivíduos isolados
• Buscar se ao olhar para uma vizinhança maior o objetivo é obtido
• Desenvolver um jogo onde a escolha pela quarentena seja dada pelo estado infectado ou não do vizinho, não pela sua quarentena