Equação de Águas Rasas

Em construção

Grupo: Gabriel Schmökel e Julia Remus

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das Equações de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

${\frac {d\rho }{dt}}+\nabla .(\rho \mathbf {u} )=0\qquad (3)$

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {1}{\rho }}\nabla .{\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {g} =0\qquad (4)$

$\rho$ é a densidade; p é a pressão; $\mathbf {u} =(u,v,w)$ é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; $\mathbf {g}$ é o vetor aceleração da gravidade; ${\boldsymbol {\tau }}$ é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por $\tau _{ij}$, no qual $i$ indica a direção e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j } o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno para a superfície Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z(x,y,t) } e para a profundidade do oceano Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x,y) } :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{D \eta}{Dt} = \frac{\partial \eta}{\partial t} +\mathbf{v} . \nabla \eta = w } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z= \eta(x,y,t) \qquad (4) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) = 0 } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z =-h(x,y) \qquad (5)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta } é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v} = (x,y,0) } é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho } não varia significativamente com o tempo e a posição.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla . \mathbf{u} = 0 \qquad (6) }

Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz , com os limites indo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -h(x,y) } até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta (x,y,t) } chegamos na seguinte expressão:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-h}^{\eta} \nabla . \mathbf{u} = \int_{-h}^{\eta} \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Big)dz = \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz +w \Big |_{-h}^{\eta} + \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) \Big |_{-h}^{\eta} -u \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} -v \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} \qquad (7) }

Teorema de Leibniz:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt \qquad (8)}

Substituindo as condições de contorno da profundidade (5) em (7) obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz - w \Big |_{eta} -\mathbf{v} . \nabla \eta = 0 \qquad (9) }

Substituindo a condição de contorno da superfície (4) em (9):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u (\eta + h)}{\partial x}+ \frac{\partial v (\eta + h)}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (10) }

(10) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D } é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (10) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M = \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = uD \qquad (11) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = vD \qquad (12) }

Substituindo (11) e (12) em (10) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x}+ \frac{\partial N}{\partial y} = 0 \qquad (10) }

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}          + w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (14) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}          + w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (15) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_z = 0 \qquad (16) }

Na componente z em (15) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_y} em (14) e passamos a definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_z = g } .

Resolvendo equação diferencial da componente z em (16) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial P = \rho g \partial z \Rightarrow P = \rho g (\eta - z) \qquad (17) }

Substituindo a pressão em (14):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} +g \frac{\partial \eta}{\partial x} =0 \qquad (18) }

Integrando a equação (18) em relação a componente z com os limites indo

Integrando a expressão (18), utilizando a regra da integral de Leibniz [1] e as condições de contorno (4) e (5), com os limites indo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -h(x,y)} até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta(x,y,t)} chegamos em outra das equações de águas rasas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial uD}{\partial t} + \frac{\partial u^{2}D}{\partial x} + \frac{\partial uvD}{\partial y} + \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial x} =0 \qquad (18) }

Generalizando a equação (18), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial vD}{\partial t} + \frac{\partial v^{2}D}{\partial y} + \frac{\partial uvD}{\partial x} + \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial y} =0 \qquad (19) }

Na representação de fluxo de cargas as expressões (18) e (19) são apresentadas respectivamente como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (20) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (21) }

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\tau} } . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{ij}} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \ne j } , e as perpendiculares por elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{ij}} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = j }

Decompondo nas componentes x,y, e z de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} } presente em (4):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) \qquad (22) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{yx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{yy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{yz} \Big) \qquad (23) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{zx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{zy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{zz} \Big) \qquad (24) }

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{xy} = \tau_{yx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \Big) \qquad (25) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{xz} = \tau_{zx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \Big) \qquad (26) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{yz} = \tau_{zy} = \mu \Big( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \Big) \qquad (27) }

Substituindo (25),(26) em (25), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (3) e (4), obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-h}^{\eta} \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) = \frac{\tau_x}{\rho} -A \Big ( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}M \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} M \Big) \qquad (28) }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } é a constante de viscosidade turbulenta, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_x } é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos negligenciar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar. .

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} é } é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{fM}{2D^{2}}(M^{2}+N^{2})^{1/2} \qquad (29) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } é mais usado, alguns valores deste coeficiente são:

• Cimento puro e metal liso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,010 }
• Terra lisa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,017 }
• Pedras, ervas daninhas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,035 }
• Péssimo relevo de canal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,060 }
• Bom relevo de canal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,025 }

O coeficiente de fricção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } e o de rugosidade de Meanning Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } estão relacionados por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = \frac{2gn^{2}}{D^{1/3}} \qquad (30) }

Substituindo (30) em (29) obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (31) }

Generalizando a expressão (31) para a componente y. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_y}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (32) }

Adicionando, repectivamente, (31) e (32) nas expressões (20) e (21), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} + \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (33) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (34) }

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido . Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

• O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}}
• A aceleração na direção da velocidade na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}} é zero
• As componentes das velocidades em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x}} e em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{y}} (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}} ) não variam em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}}

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{\partial h}{\partial t} + \dfrac{\partial hu}{\partial x} + \dfrac{hv}{\partial y} = 0 \qquad (35) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{\partial hu}{\partial t} + \dfrac{\partial \left ( hu^2 + \dfrac{1}{2}g h^2 \right)}{\partial x} + \dfrac{huv}{\partial y} = -gh\dfrac{\partial b}{\partial x} \qquad (35) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{\partial hv}{\partial t} + \dfrac{huv}{\partial x} + \dfrac{\partial \left ( hv^2 + \dfrac{1}{2}g h^2 \right)}{\partial y}= -gh\dfrac{\partial b}{\partial y}\qquad (36) }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} é a altura do fluido desde a base, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{u}, \vec{v}} são as velocidades médias na direções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x}, \vec{y}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} é a constante gravitacional e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x, y)} é função que descreve a superfície onde acontece o movimento .

Forma dissipativa

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (10),(33) e (34). Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente no região temporal. O erro de truncamento é de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \mathcal{O}(x^2) } na região espacial, enquanto na temporal é de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \mathcal{O}(t^1) } . O método é conhecido como leap-frog method devido a discretização central na região espacial.

Discretizando a expressão (10) pelo leap-frog method:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (36) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\eta(x,y,t + \Delta t) - \eta(x,y,-t)}{\Delta t} = - \frac{M(x + \Delta x,y,t) - M(x- \Delta x,y,t)}{2\Delta x} -\frac{N(x,y+ \Delta x,t) - N(x,y - \Delta y,t)}{2\Delta y} \qquad (37) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{i,j}^{n+1} = n_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{M_{i,j+1}^{n}-M_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (38) }

Discretizando a expressão (33) pelo leap-frog method:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (39) }

Definindo as quantidades:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M2 \equiv \frac{M^2(x,y,t)}{D(x,y,t)}\qquad (40) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MN \equiv \frac{M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)} \qquad (41) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (42) }

Das quantidades definidades e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos a respectiva avanço temporal para M:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (43) }

Generalizando a expressão (43) para o fluxo de descarga N temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_{i,j}^{n+1} = N_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{N2_{i,j+1}^n-M2_{i,j-1}^n}{2\Delta y} +\frac{(MN)_{i+1,j}^n - (MN)_{i-1,j}^n}{2\Delta x} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta y} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (44) }

Simulações Computacionais de Tsunamis

Solução em 1D

Para a solução em uma direção foi utilizado os mesmos códigos abaixo descritos, desconsiderando a contribuição da direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{y}} . Após a descrição dos programas desenvolvidos, será apresentada uma comparação entre ele e o 2D (conservativo e dissipativo).

Forma conservativa 2D

Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{h^{t + \Delta t}_{i, j} - h^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(hu)^t_ {i+1,j} - (hu)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(hv)^t_ {i,j+1} - (hv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = 0}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{hu)^{t + \Delta t}_{i, j} - (hu)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(hu^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i+1, j} - (hu^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(huv)^t_{i, j+1} - (huv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g h^{t}_{i, j} b_{x. i, j}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{(hv)^{t + \Delta t}_{i, j} - (hv)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(huv)^t_{i+1, j} - (huv)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(hv^2 + 1/2 gh^2)^t_{i, j+1} - (hv^2 + 1/2 gh^2)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g h^{t}_{i, j} b_{y. i, j} }

Para os contornos foi utilizado que:

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x_f, y) = - u(x_f - \Delta x, y)}

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x_i, y) = - u(x_i + \Delta x, y)}

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(x, y_f) = - v(x, y_f - \Delta y)}

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(x, y_i) = - v(x, y_i + \Delta y)}

• Nos contornos de x: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{\partial h}{\partial x} = 0} , discretizando essa derivada temos que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_{i(+/-)1, j} = h_{i, j}}

• Nos contornos de y: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{\partial h}{\partial y} = 0} , discretizando essa derivada temos que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_{i, j(+/-)1} = h_{i, j}}

Código

O código foi escrito na linguagem Python.

#%% Bibliotecas 
import numpy as np

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import animation
import matplotlib.patches as mpatches
from IPython.display import HTML, Image

#%% Parametros

L_xf = 10.0  # m
L_x0 = -L_xf

NX = 100

dx = (L_xf - L_x0) / NX


L_yf = 10.0  # m
L_y0 = -L_yf

NY = 100

dy = (L_yf - L_y0) / NY

N_INNER = (NX - 2) * (NY - 2)

g = 9.8 # m /s^2

# Tempo
dt = 0.002
Nt = 1500

time_interval = np.arange(0, Nt*dt, dt)


#%% Discretização do espaço x-y

x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX-1)  
y = np.linspace(L_y0, L_yf, NY-1)
X, Y = np.meshgrid(x, y) 

#%% Condições iniciais, em distribuição gaussiana

sigma = 1.0
sigma_v = 1.0

h_2d = 5 * np.ones(shape=np.shape(X)) + np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma**2))))
u_2d = 0.1 * np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma_v**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma_v**2))))
v_2d = 0.1 * np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma_v**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma_v**2))))

#%% Vetores das variáveis anteriores e historico das variaveis

h_ant = np.copy(h_2d)
v_ant = np.copy(v_2d)
u_ant = np.copy(u_2d)

# Inicilização das listas para armazenar os valores

hist_h, hist_u, hist_v = [], [], []

Função para resolução das equações diferenciais com FTCS.

# Fator de multiplicacao 
fator_x = (dt / (2*(dx)))
fator_y = (dt / (2*(dy)))

def resolve_pdes(h, vx, vy):

    """
    Função que retorna os valores de profunidade, velocidade em x e em y 
    no próximo tempo
    
    Parametros
    -----------
    h : float
                  profundidade no tempo t 
    vx : float
        velocidade em x no tempo t
      
    vy : float
        velocidade em y no tempo t
    
    Retorna
    -----------
    prox_h : float
                  profundidade no tempo t + dt
    prox_u : float
        velocidade em x no tempo t + dt
      
    prox_v : float
        velocidade em y no tempo t + dt
    
    """

    # Inicializa os vetores para armazenarem os resultados calculados
    prox_h = np.ones(shape = (np.shape(h)), dtype = np.float64)
    prox_u = np.ones(shape = (np.shape(vx)), dtype = np.float64)
    prox_v = np.ones(shape = (np.shape(vy)), dtype = np.float64)
    
    
    # Loop nos pontos discretizados 
    
    for i in range(1, NX - 1):
        for j in range(1, NY - 1):
            
        
            # Alturas e velocidades conforme a posicao do ponto:
            # _l : ponto a esquerda, _r: ponto a direita, _up: ponto acima, _d: abaixo
        
            # Condicao a esquerda ------------------
            if i == 1:  # primeiro x interno
                        
                h_l = h[i, j]
                u_l = -vx[i, j]
                v_l = vy[i, j]
        
            else:
                h_l = h[i-1, j]
                u_l = vx[i-1, j]
                v_l = vy[i-1, j]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao a direita -------------------
            if i == NX - 2:  # ultimo x interno

                h_r = h[i, j]
                u_r = -vx[i, j]
                v_r = vy[i, j]
            
            else:
                h_r = h[i+1, j]
                u_r = vx[i+1, j]
                v_r = vy[i+1, j]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao abaixo  ----------------------
            if j == 1:  # primeiro y interno 
                h_d = h[i, j]
                u_d = vx[i, j]
                v_d = - vy[i, j]
            
            else:
                h_d = h[i, j - 1]
                v_d = vy[i, j - 1]
                u_d = vx[i, j - 1]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao acima  ----------------------
            if j == NY - 2:  # utlimo y interno
            
            
                h_up = h[i, j]
                u_up = vx[i, j]
                v_up = - vy[i, j]
            
            else:
                
                h_up = h[i, j + 1]
                v_up = vy[i, j + 1]
                u_up = vx[i, j + 1]
            # --------------------------------------


            ## Primeira Equação
        
            h_ij = h[i, j] - \
                  (h_r  * u_r  - h_l  * u_l) * fator_x - \
                   (h_up * v_up - h_d  * v_d) * fator_y 
            
            prox_h[i, j] = h_ij
        
            # ## Segunda equação
        
            hu_ij = ((h[i, j]) * vx[i, j]) - \
                    fator_x * (
                        ((h_r  * (u_r ** 2))  + (1/2 * g * (h_r ** 2))) -\
                        ((h_l  * (u_l ** 2))  + (1/2 * g * (h_l ** 2)))
                    ) - fator_y * (
                        (h_up * u_up * v_up ) - (h_d  * u_d  * v_d)
                    )

            # # ## Terceira Equação
        
            hv_ij = (h[i, j] * vy[i, j]) - \
                    fator_x * (
                        (h_r  * u_r * v_r) - (h_l  * u_l * v_l)
                    ) - \
                    fator_y * (
                        ((h_up * (v_up ** 2)) + (1/2 * g * (h_up ** 2))) - \
                        ((h_d  * (v_d  ** 2)) + (1/2 * g * (h_d  ** 2)))
                    )        

            prox_v[i, j] = hv_ij / (h_ij)
        
    return prox_h, prox_u, prox_v

#%% Cálculo

# Resolve para cada passo de tempo

for t in time_interval:
    

    h, u, v = resolve_pdes(h_ant, u_ant, v_ant)  # valores das variaveis no tempo = t + dt
    
    # faz isso pq tava dando um erro estranho nesses pontos?
    h[0, :] = h[1, :]
    h[:, 0] = h[:, 1]
    
    v[0, :] = v[1, :]
    v[:, 0] = v[:, 1]
    
    u[0, :] = u[1, :]
    u[:, 0] = u[:, 1]
    
    # adicionar essas variáveis em listas pra conseguir plotar dps 
    hist_h.append(h); hist_u.append(u); hist_v.append(v)
    
      
    # Coloca as variaveis atuais como anteriores pro proximo calculo
    h_ant = np.copy(h)
    u_ant = np.copy(u)
    v_ant = np.copy(v)

#%% Gráfico

# Reorganiza os vetores para plotar

x_2d = X[0]
y_2d = Y[0]

for i in range(1,len(X)):
    
    x_2d = np.append(x_2d, X[i])
    y_2d = np.append(y_2d, Y[i])

def animate(i):
    plt.clf()  # limpa a figura, pra nao ficar sobrepondo figs

    # titulos
    plt.suptitle('Evolução da onda', fontsize=14)
    plt.title(f'Tempo: {round(dt*i, 3)}', fontsize=12)
    
    # labels
    plt.ylabel('y', fontsize=8)
    plt.xlabel('x', fontsize=8)
    
    # plot
    graph = plt.scatter(x_2d, y_2d, c= hist_h[0::8][i], vmin=4.5, vmax=5.5, marker='.')
    
    plt.colorbar()
    plt.savefig(f'caminho-frames/{i}.png')
    

    return graph
    

# fig = plt.figure(figsize=(16,9))
# ax = fig.gca(projection='3d')

fig, ax = plt.subplots()
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames = len(hist_h[0::8]), repeat=False, interval=0.1)

#%% Salva o gif, com os frames salvos anteriormente
images = []
for i in range(len(hist_h[0::80])):
    images.append(imageio.imread(f'caminho-frames/{i}.png'))
imageio.mimsave("gif2.gif", images,fps=8)

Resultados

1. Onda confinada em uma caixa: utilizando que a superfície é constante e que tanto a velocidade quanto altura da onda são inicialmente funções gaussianas centradas no espaço, obtemos a evolução no espaço que pode ser vista no GIF abaixo.

Evolução da altura da onda em uma caixa com superfície constante

Forma dissipativa 2D

Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N } , onde as funções em python atualiza_eta, atualiza_M, e atualiza_N implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência foi usado como base.

def atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):
            
            dMdx = (M[j+1,i] - M[j-1,i]) / (2. * dx)
            dNdy = (N[j,i+1] - N[j,i-1]) / (2. * dy)
            eta[j, i] = eta[j, i] - dt * (dMdx + dNdy)
    
    #Condições de contorno do problema
    eta[0,:] = eta[1,:]
    eta[-1,:] = eta[-2,:]
    eta[:,0] = eta[:,1]
    eta[:,-1] = eta[:,-2]
    
    return eta

def atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    M2 = M **2 / D
    MN = M * N / D
    fric = g * n**2 * M * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dM2dx = (M2[j+1,i] - M2[j-1,i]) / (2. * dx)
            dMNdy = (MN[j,i+1] - MN[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdx = (eta[j+1,i] - eta[j-1,i]) / (2. * dx)
            
            M[j, i] = M[j, i] - dt * (dM2dx + dMNdy + g * D[j,i] * dETAdx + fric[j,i])
            
    return M

def atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    
    MN = M * N / D
    N2 = N**2 / D
    fric = g * n**2 * N * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dMNdx = (MN[j+1,i] - MN[j-1,i]) / (2. * dx)
            dN2dy = (N2[j,i+1] - N2[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdy = (eta[j,i+1] - eta[j,i-1]) / (2. * dy)
            
            N[j, i] = N[j, i] - dt * (dMNdx + dN2dy + g * D[j,i] * dETAdy + fric[j,i])
                        
    return N

A função shallow water waves recebe os parâmetros iniciais do nosso programa, executa o Loop responsável pela atualização das variáveis da amplitude da onda e do fluxo de descarga com o tempo, através da chamada das funções atualiza M,N e eta. Posteriormente, a cada passagem dentro do loop um plot do sistema é feito. Obs: não colocamos todo código da função shallow_water na imagem a seguir, apenas a que mencionamos neste parágrafo.

def shallow_water(eta0, M0, N0, h, g, n, nt, dx, dy, dt, X, Y):
     
    eta = eta0.copy()
    M = M0.copy()
    N = N0.copy()
    
    D = eta + h

    # ... 
    
    for k in range(1,nt):
        

        eta = atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny)
        M = atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)
        N = atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)

        D = eta + h


        fig = plt.figure(figsize=(8.,6.))

        fundo = plt.imshow(-h, 'Purples', interpolation = 'nearest', extent = limites)
        amp = plt.imshow(eta, extent = limites, interpolation = 'sinc', cmap = 'seismic', alpha= 0.75, vmin=-0.4, vmax= 0.4)
    
        #plt.title('tempo = %f', dt*n )
        #plt.plot(f'Tempo {round(k*dt,3)} s')
        plt.xlabel('x [m]')
        plt.ylabel('y [m]')
        cbar_amp = plt.colorbar(amp)
        cbar_fundo = plt.colorbar(fundo)
        cbar_fundo.set_label(r'$-h$ [m]')
        cbar_amp.set_label(r'$\eta$ [m]')

        plt.show()

Comparação entre Métodos

Onda confinada em uma caixa

Abaixo é mostrado o gráfico de evolução temporal da altura da onda em três pontos distintos do sistema. Pode-se perceber que com o passar do tempo o movimento das duas equações começa a divergir, mesmo com o fator de fricção baixo.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo

Para o método 1D é de se esperar que exista menos interferências entre as ondas, pois só existe parede nos finais do sistema, além disso, a onda só precisa se espalhar em uma direção, então a sua amplitude é maior.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 2D e conservativo 1D