Equação de Águas Rasas

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das Equações de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\rho}{dt} +\nabla . (\rho \mathbf{u}) = 0 \qquad (3) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{D \mathbf{u}}{Dt} +\frac{1}{\rho}\nabla p +\frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} +\mathbf{g} = 0 \qquad (4) }

$\rho$ é a densidade; p é a pressão; $\mathbf {u} =(u,v,w)$ é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; $\mathbf {g}$ é o vetor aceleração da gravidade; ${\boldsymbol {\tau }}$ é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por $\tau _{ij}$, no qual $i$ indica a direção e $j$ o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno para a superfície $z(x,y,t)$ e para a profundidade do oceano $h(x,y)$:

${\frac {D\eta }{Dt}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\mathbf {v} .\nabla \eta =w$ , onde $z=\eta (x,y,t)\qquad (4)$

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) = 0 } , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z =-h(x,y) \qquad (5)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta } é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{v} = (x,y,0) } é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho } não varia significativamente com o tempo e a posição.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla . \mathbf{u} = 0 \qquad (6) }

Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz , com os limites indo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -h(x,y) } até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta (x,y,t) } chegamos na seguinte expressão:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-h}^{\eta} \nabla . \mathbf{u} = \int_{-h}^{\eta} \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Big)dz = \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz +w \Big |_{-h}^{\eta} + \mathbf{u} . \nabla (z + h(x,y)) \Big |_{-h}^{\eta} -u \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} -v \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} \qquad (7) }

Teorema de Leibniz:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt \qquad (8)}

Substituindo as condições de contorno da profundidade (5) em (7) obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz - w \Big |_{eta} -\mathbf{v} . \nabla \eta = 0 \qquad (9) }

Substituindo a condição de contorno da superfície (4) em (9):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial u (\eta + h)}{\partial x}+ \frac{\partial v (\eta + h)}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} + \frac{\partial \eta}{\partial t} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (10) }

(10) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D } é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (10) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M = \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz = uD \qquad (11) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N = \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz = vD \qquad (12) }

Substituindo (11) e (12) em (10) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x}+ \frac{\partial N}{\partial y} = 0 \qquad (10) }

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}          + w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (14) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}          + w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (15) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_z = 0 \qquad (16) }

Na componente z em (15) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_y} em (14) e passamos a definir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_z = g } .

Resolvendo equação diferencial da componente z em (16) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial P = \rho g \partial z \Rightarrow P = \rho g (\eta - z) \qquad (17) }

Substituindo a pressão em (14):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} +g \frac{\partial \eta}{\partial x} =0 \qquad (18) }

Integrando a equação (18) em relação a componente z com os limites indo

Integrando a expressão (18), utilizando a regra da integral de Leibniz [1] e as condições de contorno (4) e (5), com os limites indo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -h(x,y)} até Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta(x,y,t)} chegamos em outra das equações de águas rasas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial uD}{\partial t} + \frac{\partial u^{2}D}{\partial x} + \frac{\partial uvD}{\partial y} + \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial x} =0 \qquad (18) }

Generalizando a equação (18), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial vD}{\partial t} + \frac{\partial v^{2}D}{\partial y} + \frac{\partial uvD}{\partial x} + \frac{g}{2} \frac{\partial D^2}{\partial y} =0 \qquad (19) }

Na representação de fluxo de cargas as expressões (18) e (19) são apresentadas respectivamente como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (20) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 \qquad (21) }

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{\tau} } . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{ij}} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i \ne j } , e as perpendiculares por elementos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{ij}} onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = j }

Decompondo nas componentes x,y, e z de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho} \nabla . \boldsymbol{\tau} } presente em (4):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) \qquad (22) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{yx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{yy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{yz} \Big) \qquad (23) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{zx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{zy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{zz} \Big) \qquad (24) }

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{xy} = \tau_{yx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \Big) \qquad (25) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{xz} = \tau_{zx} = \mu \Big( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \Big) \qquad (26) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{yz} = \tau_{zy} = \mu \Big( \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \Big) \qquad (27) }

Substituindo (25),(26) em (25), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (3) e (4), obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-h}^{\eta} \frac{1}{\rho}\Big(\frac{\partial}{\partial x} \tau_{xx} + \frac{\partial}{\partial y} \tau_{xy} + \frac{\partial}{\partial z}\tau_{xz} \Big) = \frac{\tau_x}{\rho} -A \Big ( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}M \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} M \Big) \qquad (28) }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A } é a constante de viscosidade turbulenta, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_x } é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos negligenciar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar. .

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} é } é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{fM}{2D^{2}}(M^{2}+N^{2})^{1/2} \qquad (29) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } é mais usado, alguns valores deste coeficiente são:

• Cimento puro e metal liso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,010 }
• Terra lisa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,017 }
• Pedras, ervas daninhas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,035 }
• Péssimo relevo de canal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,060 }
• Bom relevo de canal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 0,025 }

O coeficiente de fricção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f } e o de rugosidade de Meanning Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } estão relacionados por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f = \frac{2gn^{2}}{D^{1/3}} \qquad (30) }

Substituindo (30) em (29) obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (31) }

Generalizando a expressão (31) para a componente y. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_y}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (32) }

Adicionando, repectivamente, (31) e (32) nas expressões (20) e (21), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x} + \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (33) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (34) }

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido . Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

• O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}}
• A aceleração na direção da velocidade na direção Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}} é zero
• As componentes das velocidades em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x}} e em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{y}} (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v}} ) não variam em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{z}}

O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{\partial h}{\partial t} + \dfrac{\partial hu}{\partial x} + \dfrac{hv}{\partial y} = 0 \qquad (35) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{\partial hu}{\partial t} + \dfrac{\partial \left ( hu^2 + \dfrac{1}{2}g h^2 \right)}{\partial x} + \dfrac{huv}{\partial y} = -gh\dfrac{\partial b}{\partial x} \qquad (35) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{\partial hv}{\partial t} + \dfrac{huv}{\partial x} + \dfrac{\partial \left ( hv^2 + \dfrac{1}{2}g h^2 \right)}{\partial y}= -gh\dfrac{\partial b}{\partial y}\qquad (36) }

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} é a altura do fluido desde a base, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{u}, \vec{v}} são as velocidades médias na direções Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{x}, \vec{y}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} é a constante gravitacional e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x, y)} é função que descreve a superfície onde acontece o movimento .

Forma dissipativa

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (10),(33) e (34). Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente no região temporal. O erro de truncamento é de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \mathcal{O}(x^2) } na região espacial, enquanto na temporal é de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \mathcal{O}(t^1) } . O método é conhecido como leap-frog method devido a discretização central na região espacial.

Discretizando a expressão (10) pelo leap-frog method:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial uD}{\partial x}+ \frac{\partial vD}{\partial y} = 0 \qquad (36) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\eta(x,y,t + \Delta t) - \eta(x,y,-t)}{\Delta t} = - \frac{M(x + \Delta x,y,t) - M(x- \Delta x,y,t)}{2\Delta x} -\frac{N(x,y+ \Delta x,t) - N(x,y - \Delta y,t)}{2\Delta y} \qquad (37) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_{i,j}^{n+1} = n_{i,j}^{n} -\Delta t\Bigg(\frac{M_{i+1,j}^{n}-M_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} + \frac{M_{i,j+1}^{n}-M_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} \Bigg) \qquad (38) }

Discretizando a expressão (33) pelo leap-frog method:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial t} = -\Bigg( \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{MN}{D}\Big)+ gD \frac{\partial \eta}{\partial x}+ \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \Bigg) \qquad (39) }

Definindo as quantidades:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M2 \equiv \frac{M^2(x,y,t)}{D(x,y,t)}\qquad (40) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MN \equiv \frac{M(x,y,t)N(x,y,t)}{D(x,y,t)} \qquad (41) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y,t) \equiv \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (42) }

Das quantidades definidades e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos a respectiva avanço temporal para M:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_{i,j}^{n+1} = M_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{M2_{i+1,j}^n-M2_{i-1,j}^n}{2 \Delta x} +\frac{(MN)_{i,j+1}^n - (MN)_{i,j-1}^n}{2 \Delta y} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (43) }

Generalizando a expressão (43) para o fluxo de descarga N temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_{i,j}^{n+1} = N_{i,j}^{n} -\Delta t \Bigg( \frac{N2_{i,j+1}^n-M2_{i,j-1}^n}{2\Delta y} +\frac{(MN)_{i+1,j}^n - (MN)_{i-1,j}^n}{2\Delta x} +gD_{i,j}^{n} \frac{\eta_{i+1,j}^{n} - \eta_{i-1,j}^{n}}{2\Delta y} +f_{i,j}^{n}\Bigg) \qquad (44) }

Simulações Computacionais de Tsunamis

Forma conservativa 2D

Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{h^{t + \Delta t}_{i, j} - h^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(hu)^t_ {i+1,j} - (hu)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(hv)^t_ {i,j+1} - (hv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = 0}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{hu)^{t + \Delta t}_{i, j} - (hu)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(hu^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i+1, j} - (hu^2 + \cfrac{1}{2}gh^2)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(huv)^t_{i, j+1} - (huv)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g h^{t}_{i, j} b_{x. i, j}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{(hv)^{t + \Delta t}_{i, j} - (hv)^{t}_{i, j}}{\Delta t} + \left [ \dfrac{(huv)^t_{i+1, j} - (huv)^t_{i-1, j}}{2 \Delta x} \right ] + \left [ \dfrac{(hv^2 + 1/2 gh^2)^t_{i, j+1} - (hv^2 + 1/2 gh^2)^t_{i, j-1}}{2 \Delta y} \right ] = -g h^{t}_{i, j} b_{y. i, j} }

Para os contornos foi utilizado que:

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x_f, y) = - u(x_f - \Delta x, y)}

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x_i, y) = - u(x_i + \Delta x, y)}

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(x, y_f) = - v(x, y_f - \Delta y)}

• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(x, y_i) = - v(x, y_i + \Delta y)}

• Nos contornos de x: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{\partial h}{\partial x} = 0} , discretizando essa derivada temos que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_{i(+/-)1, j} = h_{i, j}}

• Nos contornos de y: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac{\partial h}{\partial y} = 0} , discretizando essa derivada temos que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h_{i, j(+/-)1} = h_{i, j}}

No desenvolvimento do programa não foi conseguido alcançar os resultados esperados, pois o sistema não converge: a velocidade aumenta e diminui infinitamente, fazendo com que a altura da onda aumente indefinidamente. O código foi escrito na linguagem Python, pois não conseguimos entender o erro.

Foi cosiderada uma superfície constante e, desta forma, suas derivadas são nulas e não interferem no cálculo.

Forma dissipativa 2D

Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N } , onde as funções em python atualiza_eta, atualiza_M, e atualiza_N implementam computacionalmente isto. Para implementar estás funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência foi usado como base.

def atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):
            
            dMdx = (M[j+1,i] - M[j-1,i]) / (2. * dx)
            dNdy = (N[j,i+1] - N[j,i-1]) / (2. * dy)
            eta[j, i] = eta[j, i] - dt * (dMdx + dNdy)
    
    #Condições de contorno do problema
    eta[0,:] = eta[1,:]
    eta[-1,:] = eta[-2,:]
    eta[:,0] = eta[:,1]
    eta[:,-1] = eta[:,-2]
    
    return eta

def atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    M2 = M **2 / D
    MN = M * N / D
    fric = g * n**2 * M * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dM2dx = (M2[j+1,i] - M2[j-1,i]) / (2. * dx)
            dMNdy = (MN[j,i+1] - MN[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdx = (eta[j+1,i] - eta[j-1,i]) / (2. * dx)
            
            M[j, i] = M[j, i] - dt * (dM2dx + dMNdy + g * D[j,i] * dETAdx + fric[j,i])
            
    return M

def atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    
    MN = M * N / D
    N2 = N**2 / D
    fric = g * n**2 * N * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dMNdx = (MN[j+1,i] - MN[j-1,i]) / (2. * dx)
            dN2dy = (N2[j,i+1] - N2[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdy = (eta[j,i+1] - eta[j,i-1]) / (2. * dy)
            
            N[j, i] = N[j, i] - dt * (dMNdx + dN2dy + g * D[j,i] * dETAdy + fric[j,i])
                        
    return N

A função shallow water waves recebe os parâmetros iniciais do nosso programa, executa o Loop responsável pela atualização das variáveis da amplitude da onda e do fluxo de descarga com o tempo, através da chamada das funções atualiza M,N e eta. Posteriormente, a cada passagem dentro do loop um plot do sistema é feito. Obs: não colocamos todo código da função shallow_water na imagem a seguir, apenas a que mencionamos neste parágrafo.

def shallow_water(eta0, M0, N0, h, g, n, nt, dx, dy, dt, X, Y):
     
    eta = eta0.copy()
    M = M0.copy()
    N = N0.copy()
    
    D = eta + h

    # ... 
    
    for k in range(1,nt):
        

        eta = atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny)
        M = atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)
        N = atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)

        D = eta + h


        fig = plt.figure(figsize=(8.,6.))

        fundo = plt.imshow(-h, 'Purples', interpolation = 'nearest', extent = limites)
        amp = plt.imshow(eta, extent = limites, interpolation = 'sinc', cmap = 'seismic', alpha= 0.75, vmin=-0.4, vmax= 0.4)
    
        #plt.title('tempo = %f', dt*n )
        #plt.plot(f'Tempo {round(k*dt,3)} s')
        plt.xlabel('x [m]')
        plt.ylabel('y [m]')
        cbar_amp = plt.colorbar(amp)
        cbar_fundo = plt.colorbar(fundo)
        cbar_fundo.set_label(r'$-h$ [m]')
        cbar_amp.set_label(r'$\eta$ [m]')

        plt.show()