Equação de Águas Rasas

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das EQs. de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:

$\frac{d\rho }{dt}+\mathrm{\nabla }.(\rho \mathbf{𝐮})=0$

$\frac{D\mathbf{𝐮}}{Dt}+\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }.\mathit{\tau }+\mathbf{𝐠}=0$

$\rho$ é a densidade. p é a pressão. $\mathbf{𝐮}=(u,v,w)$ é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas nas direções x,y,z. $\mathbf{𝐠}$ é o vetor aceleração da gravidade. $\mathit{\tau }$ é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por ${\tau }_{ij}$, no qual $i$ indica a direção e $j$ o plano normal.

Onde as condições de contorno para a superfície e o para o fundo do mar são:

EQUAÇÕES

Forma Conservativa

A partir das equações de conservação de momento e de massa, pode ser obtida as equações de águas rasas na forma conservativa. A forma conservativa da equação de águas rasas desconsidera a viscosidade do fluido e as tensões de cisalhamento aplicadas nele.

O desenvolvimento completo das equações está disponível na . A conservação de massa é dada por:

$\mathrm{\nabla }\cdot v=0$

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$

Onde $\overrightarrow{u}$ é a velocidade na direção $x$, $\overrightarrow{v}$ é a velocidade na direção $y$ e $\overrightarrow{w}$ é a velocidade na direção $z$.

Para a conservação do momento deve ser levado em conta três premissas:

• O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção $\overrightarrow{z}$
• A aceleração na direção da velocidade $\overrightarrow{w}$ é zero
• O líquido é não viscoso
• As velocidades $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ não variam em $\overrightarrow{z}$

Ao aproximar por diferenças finitas obtemos o sistema de equações discretizadas a seguir.

$\frac{h_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-h_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(hu{)}_{i+1,j}^t-(hu{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(hv{)}_{i,j+1}^t-(hv{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=0$

$\frac{hu{)}_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-(hu{)}_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2{)}_{i+1,j}^t-(h{u}^2+\frac{1}{2}g{h}^2{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(huv{)}_{i,j+1}^t-(huv{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=-g{h}_{i,j}^t{b}_{x.i,j}$

$\frac{(hv{)}_{i,j}^{t+\mathrm{\Delta }t}-(hv{)}_{i,j}^t}{\mathrm{\Delta }t}+\left[\frac{(huv{)}_{i+1,j}^t-(huv{)}_{i-1,j}^t}{2\mathrm{\Delta }x}\right]+\left[\frac{(h{v}^2+1/2g{h}^2{)}_{i,j+1}^t-(h{v}^2+1/2g{h}^2{)}_{i,j-1}^t}{2\mathrm{\Delta }y}\right]=-g{h}_{i,j}^t{b}_{y.i,j}$

Resolvendo pelo método de FTCS (para frente no tempo) e ajustando aos limites de estabilidade, temos como resultado:

.... aqui gráfico ....

Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações.