Termostato de Nosé-Hoover

Grupo: Gabriel Azevedo, Rafael Abel e Thierre F. Conceição.

Termostato de Nosé-Hoover

O termostato de Nosé-Hoover é um algoritmo utilizado para simulação de dinâmica molecular. Esse ensemble é relevante quando o sistema em estudo está em contato com um banho térmico, para manter a temperatura constante. A maneira que o algoritmo de Nosé-Hoover mantém a temperatura constante é a partir da adição de uma variável dinâmica fictícia (um "agente" externo), que atua sobre as velocidades das partículas no sistema, as acelerando ou desacelerando até que estas atinjam a temperatura desejada.

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Método

Termostato de Nose

Para entender o termostado de Nóse-Hoover, primeiramente será mostrado o termostato de Nosé.

Este termostato atribui coordenadas generalizados adicionais $s$ e o seu momento conjugado $p_{s}$ ao banho térmico. O fator $s$ é definido como um fator de escala das velocidades, onde:

${\dot {\mathbf {v}}}=s{\dot {\mathbf {r}}}=s{\mathbf {p}}/m$

E também são definidas as energia potenciais e cinética associadas a $s$ como:

${\mathcal {U}}_{s}=(N_{f}+1)k_{B}Tln(s)$ e ${\mathcal {K}}_{s}={\frac {1}{2}}Q{\dot {s}}^{2}={\frac {p_{s}^{2}}{2Q}}$

onde $Q$ é entendido como a "inércia térmica", ele determina a escala do tempo da flutuação de temperatura.

O Lagrangiano do sistema extendida (consistente das partículas e do banho térmico) então é postulado como:

${\mathcal {L}}={\mathcal {K}}+{\mathcal {K}}_{s}-{\mathcal {U}}-{\mathcal {U}}_{s}=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}s^{2}}}+{\frac {p_{s}^{2}}{2Q}}-{\mathcal {U}}({\mathbf {r}})-(N_{f}+1)k_{B}Tln(s)$

Como não é explicitamente dependente do tempo:

${\mathcal {H}}_{N}={\mathcal {K}}+{\mathcal {K}}_{s}+{\mathcal {U}}+{\mathcal {U}}_{s}=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}s^{2}}}+{\frac {p_{s}^{2}}{2Q}}+{\mathcal {U}}({\mathbf {r}})+(N_{f}+1)k_{B}Tln(s)$

Como ${\mathcal {H}}_{N}$ se conserva, esse sistema é numericamente estável

Assim, as equações de movimento podem ser deduzidas:

${\mathbf {\dot {r}}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial {\mathbf {p}}_{i}}}={\mathbf {p}}_{i}/(m_{i}s^{2})$

${\mathbf {\dot {p}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial {\mathbf {r}}_{i}}}={\mathbf {f}}_{i}$ onde $f$ é o número de graus de liberdade do sistema;

${\dot {s}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial p_{s}}}=p_{s}/Q$

${\dot {p}}_{s}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}_{N}}{\partial s}}=\sum _{i}{\frac {{\mathbf {p}}_{i}^{2}}{m_{i}s^{3}}}-(N_{f}+1)k_{B}T/s$

Assim, o termostato de Nose pode ser tratado como um sistema de partículas junto a um banho térmico como um ensemble NVE. Entretanto, neste sistema, $Q$ precisa ser determinado por tentativa e erro. Caso o valor escolhido seja muito pequeno, o sistema possuirá muitas oscilações, logo é necessário aumentar o valor de $Q$, porém caso o valor escolhido seja muito alto, o tempo para atingir equilíbrio térmico será demasiadamente longo. Outro problema do termostato de Nose é o fato de que, por as velocidades serem escaladas com o $s$, o tempo também será escalado com $s$, o que não acontece em sistemas reais e extendidos.

Termostato de Nosé-Hoover

Para contornar esses problemas, Hoover utilizou uma parametrização diferente, sem o termo $s.$ . O parâmetro $s$ pode ser removido das equações reescrevendo-as utilizando ${\mathbf {r}}$, ${\mathbf {\dot {r}}}$ e ${\mathbf {\ddot {r}}}$. Assim, as equações de movimento do termostato de Nosé-Hoover são:

${\mathbf {\dot {r}}}={\dot {p}}_{i}/m_{i}$

${\mathbf {\dot {p}}}={\mathbf {f}}_{i}-\xi {\mathbf {p}}_{i}={\mathbf {f}}_{i}{\frac {p_{\eta }}{Q}}{\mathbf {p}}_{i}$

${\dot {\eta }}=\left(\sum _{i}p_{i}^{2}/m_{i}-L/\beta \right)/Q$

TERMINAR EQUAÇÕES

ADICIONAR EQUAÇÕES DAS CADEIAS DE NOSE HOOVER

Programas Utilizados

/*Simulação de DM de um fluido de Lennard-Jones com termostato Nose-Hoover Compile usando "gcc -o NVT_NH NVT_NH.c -lm -lgsl" */
/*********************************************/  
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
  
return 0;  
}