Modelo de Potts 2D

Modelo de Potts

O "Modelo de Potts de Q-estados" trata de um sistema de rede com N spins interagentes $s={s_{1},s_{2},..s_{i},...s_{N}}$, onde um spin $s_{i}$ pode assumir um valor inteiro e positivo $q\in {1,2,...,Q-1,Q}$. Cada spin do sistema está limitado a interagir com outros spins em sua vizinhança e a energia da interação entre dois spins $s_{i}$ e $s_{j}$ é dada pelo potencial $V(s_{i},s_{j})=-J\delta {(s_{i},s_{j})}$

onde $\delta {(s_{i},s_{j})}$ é a função delta de Kronecker e $J$ é a constante de interação entre os spins. Dessa maneira, a interação entre dois spins vizinhos contabiliza um valor $-J$ de energia ao sistema apenas se $s_{i}=s_{j}$. A hamiltoniana do sistema é dada pela soma entre todas as interações entre spins vizinhos:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\delta {(s_{i},s_{j})}}$

Este modelo é tido como uma generalização natural do Modelo de Ising e para $Q=2$ ambos modelos são equivalentes

${\mathcal {H}}_{ising}={\mathcal {H}}_{potts}+\sum _{\langle i,j\rangle }{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }(2\delta (s_{i},s_{j})-1)$

nesse caso os spins $s_{i}$ e $s_{j}$ têm apenas dois valores possíveis e

$2\delta (s_{i},s_{j})-1={\begin{cases}1,\quad {\text{se }}s_{i}=s_{j}\\-1,\quad {\text{se }}s_{i}\neq s_{j}\end{cases}}$

logo considerando como valores possíveis para os spins $\{s_{i},s_{j}\}$ como $-1$ ou $1$ encontramos

$H_{I}=H_{p}+\sum _{(i,j)}{\frac {J}{2}}=-{\frac {J}{2}}\sum _{(i,j)}s_{i}s_{j}$