Difusão ambipolar em plasmas: mudanças entre as edições

Edição das 13h39min de 5 de abril de 2021

Equação da difusão ambipolar

A difusão é o modo como um fluido se dilui em um meio. Estudar as equações que governam esse fenômeno e as formas de resolvê-las é de extremo interesse para a física de fluidos e de plasmas, entre outras áreas. Aqui mostramos uma resolução numérica para o caso unidimensional da difusão ambipolar de um plasma (gás formado de elétrons e íons) envolto em um gás neutro, ou seja, o caso de um plasma se espalhando por um tubo.

Diferentemente de um gás de átomos/moléculas neutros(as), os plasmas são menos livres ao se moverem por causa das interações eletromagnéticas envolvidas no movimento das cargas, como a força de Coulomb e a força magnética. Na difusão de plasmas em um gás neutro, os coeficientes de difusão dos elétrons e dos íons são tipicamente dados por

$D_{e}={\frac {k_{b}T_{e}}{m_{e}\nu _{e}}}$ e $D_{i}={\frac {h_{b}T_{i}}{m_{i}\nu _{i}}}$ ,

onde $T_{e}$ , $T_{i}$ , $m_{e}$ , $m_{i}$ , $\nu _{e}$ e $\nu _{i}$ , são as temperaturas, massas e frequências de colisão dos elétrons e íons com os átomos neutros. Devido à massa do elétron ser muito menor que a massa de um íon, $D_{e}$ é maior que $D_{i}$ , então quando um plasma começa a se difundir, incialmente os elétrons se espalham mais rapidamente que os íons, o que gera um campo elétrico que freia os elétron e acelera os íons. Chamamos esse processo de difusão ambipolar.

^[1]

Como mostrado por Shimony e Cahn^[2], esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida para a função de densidade $n({\vec {r}},t)$ :

$\nabla ^{2}n({\vec {r}},t)={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}n({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}+\alpha {\frac {\partial n({\vec {r}},t)}{\partial t}}\qquad (1)$ ,

onde $u^{2}=\nu _{a}D_{a}$ e $\alpha =1/D_{a}$ , sendo $\nu _{a}$ a frequência de colisão ambipolar e $D_{a}$ o coeficiente de difusão ambipolar, que pode ser escrito como $D_{a}=D_{i}(1+T_{e}/T_{i})$ ^[3].

Como tratamos do caso unidimensional, a equação 1 torna-se

${\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial t^{2}}}+\alpha {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}\qquad (2)$ .

O Método

A resolução numérica do problema foi baseada no artigo de Najafi e Izadi ^[4]. Começamos com a forma mais usual de escrever a equação da onda amortecida unidimencional

${\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial t^{2}}}+2h{\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x^{2}}}\qquad (3)$ .

No nosso caso $2h=\alpha u^{2}=\nu _{a}$ e $c^{2}=u^{2}$ .

Discretizando as variáveis do problema, temos que

$x_{i}=i\Delta x\qquad i=0,1,2,...,I$ ,

$t_{k}=k\Delta t\qquad k=0,1,2,...,K$ .

Substituindo as derivadas que aparecem na equação por diferenças finitas, obtemos

${\frac {\partial ^{2}n}{\partial t^{2}}}|_{i}^{k}={\frac {n_{i}^{k+1}-2n_{i}^{k}+n_{i}^{k-1}}{\Delta t^{2}}}-{\frac {\Delta t^{2}}{12}}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial t^{4}}}|_{i}^{k}+O(\Delta t^{4})$ ,

${\frac {\partial n}{\partial t}}|_{i}^{k}={\frac {n_{i}^{k+1}-n_{i}^{k-1}}{2\Delta t}}-{\frac {\Delta t^{2}}{6}}{\frac {\partial ^{3}n}{\partial t^{3}}}|_{i}^{k}+O(\Delta t^{4})$ ,

${\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}|_{i}^{k}={\frac {n_{i+1}^{k}-2n_{i}^{k}+n_{i-1}^{k}}{\Delta x^{2}}}-{\frac {\Delta x^{2}}{12}}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{4}}}|_{i}^{k}+O(\Delta x^{4})$ .

Substituindo essas relações na equação 3, obtemos

$\left[{\frac {n_{i}^{k+1}-2n_{i}^{k}+n_{i}^{k-1}}{\Delta t^{2}}}-{\frac {\Delta t^{2}}{12}}{\frac {\partial ^{4}n}{\partial t^{4}}}|_{i}^{k}+O(\Delta t^{4})\right]+2h\left[{\frac {n_{i}^{k+1}-n_{i}^{k-1}}{2\Delta t}}-{\frac {\Delta t^{2}}{6}}{\frac {\partial ^{3}n}{\partial t^{3}}}|_{i}^{k}+O(\Delta t^{4})\right]=c^{2}\left[{\frac {n_{i+1}^{k}-2n_{i}^{k}+n_{i-1}^{k}}{\Delta x^{2}}}-{\frac {\Delta x^{2}}{12}}{\frac {\partial ^{4}n}{\partial x^{4}}}|_{i}^{k}+O(\Delta x^{4})\right]$ .

Omitindo todos os temos de ordem $O\{\Delta t^{2},\Delta x^{2}\}$ e isolando $u_{i}^{k_{1}}$ , obtemos

$u_{i}^{k+1}={\frac {1}{1+h\Delta t}}[2(1-s)n_{i}^{k}-(1-h\Delta t)n_{i}^{k-1}+s(n_{i+1}^{k}+n_{i-1}^{k})]\qquad (4)$ ,

sendo $s=(c^{2}\Delta t^{2}/\Delta x^{2})$ .

Essa é a equação para resolver o problema para $k\geq 1$ , porém o problema envolve uma derivada de segunda ordem no tempo, o que faz com que precisemos saber os dois passos anteriores para calcular o próximo. Então necessitamos ainda de uma maneira de determinar $u_{i}^{1}$ a paritr de $u_{i}^{0}$ , para então calcular os demais passos. Para isso assumimos que a função é inicialmente estacionária e fazemos

$n_{t}(x,0)=0\Rightarrow {\frac {n_{i}^{1}-n_{i}^{-1}}{\Delta t}}=0\Rightarrow n_{i}^{1}=n_{i}^{-1}$ .

Substituindo na equação 4 para $k=0$ obtemos

$n_{i}^{1}={\frac {1}{2}}[2(1-s)n_{i}^{0}+s(n_{i+1}^{0}+n_{i-1}^{0})]\qquad (5)$ .

Com as equações 4 e 5, e tomando as devidas condições de contorno nas bordas (no caso desse trabalho usamos bordas fixas em 0 e também condições periódicas de contorno), podemos calcular a evolução temporal da função de densidade. Esse método é estável para $0\leq s\leq 1$ e seu erro é

$E\{n_{i}^{k}\}=-{\frac {\Delta t^{2}}{12}}{\frac {\partial ^{4}n}{\partial t^{4}}}|_{i}^{k}-{\frac {h\Delta t^{2}}{3}}{\frac {\partial ^{3}n}{\partial t^{3}}}|_{i}^{k}+c^{2}{\frac {\Delta x^{2}}{12}}{\frac {\partial ^{4}n}{\partial x^{4}}}|_{i}^{k}+O\{\Delta t^{4},\Delta x^{4}\}$ .

Resultados e Discussão

Aplicamos o método descrito acima para simular a evolução da densidade de um plasma se difundindo em um tubo de largura $L=10$ . Fizemos o plasma inicialmente concentrado na região central do tubo: $n(x,0)=1$ para $L/4\leq x\leq 3L/4$ e $n(x,0)=0$ para $x$ fora dessa região. Usamos $\Delta x=0.1$ e $\Delta t=0.01$ , que resulta em $s=0.01\nu _{a}D_{a}$ , e criamos gifs mostrando a evlução temporal da função de densidade para diferentes valores de $\nu _{i}$ e $D_{a}$ . Para garantir a estabilidade do método, essas constantes devem ser tais que $0\leq \nu _{i}D_{a}\leq (\Delta x/\Delta t)^{2}$ .

Quanto à solução nas bordas, fizemos de duas manerias: A primeira foi com condições de contorno fixas em 0 ( $n(0,t)=n(L,t)=0$ ) e represenda o caso em que as bordas são um sumidouro, como se fosse um tubo aberto. A segunda foi usando condições de contorno periódicas ( $n_{I+1}^{k}=n_{0}^{k}$ ) e representa o caso de um tubo fechado.

Evolução temporal da densidade do plasma para diferentes valores de $\nu _{a}$ e $D_{a}$

Evolução temporal da densidade do plasma para diferentes valores de $\nu _{a}$ e $D_{a}$

Podemos observar que $D_{a}$ é o parâmetro que domina a velocidade com que que a densidade decai, o que é esperado, uma vez que um coeficiente de difusão maior faz o plasma se difundir mais rápido. Já $\nu _{a}$ parece estar ligado à "suavidade" da distribuição, sendo que com frequências baixas começam a aparecer diversos picos de densidade.

Programas Utilizados

Para implementar o método computacionalmente e criar os gifs foram usados códigos em python. O código abaixo é a solução para as bordas fixas em 0:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import imageio

dt = 0.01
dx = 0.1
L = 10
T = 50

#constantes do plasma
nu_a = 0.1
Da = 0.5

#constantes para a eq da onda
c = np.sqrt(nu_a*Da)
h = nu_a/2
s = (c*dt/dx)**2

x = np.linspace(0, L, int(L/dx)) #array com as coordenadas espaciais
t = np.linspace(0, T, int(T/dt)) #array com as coordenadas temporais
n = np.zeros((len(t), len(x)))   #matriz com a densidade n(x,t)

#fazemos o plasma inicialmente concentrado em uma regiao
for i in range(int(len(x)/4),int(3*len(x)/4)):
    n[0,i] = 1
plt.plot(x,n[0]) #plota estado inicial da funcao
plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
plt.xlabel('L')
plt.ylabel('n(x)')
plt.ylim([0,1.1])
plt.xlim([0,L])
plt.text(8,0.9,'T = 0.0')
plt.savefig('n_0.png')
plt.clf()

#calculamos o próximo passo considerando dn/dt = 0 inicialmente    
for i in range(1,len(x)-1):
    n[1,i] = 0.5*(2*(1-s)*n[0,i] + s*(n[0,i+1] + n[0,i-1]))

#calculamos a posterior evolucao
for k in range(1, len(t)-1):
    for i in range(1,len(x)-1): #isso fixa os contornos em 0
        n[k+1,i] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,i] - (1-h*dt)*n[k-1,i] + s*(n[k,i+1] + n[k,i-1]))
    if k*dt - int(k*dt) == 0: #plota figuras para valores inteiros de t
       plt.plot(x,n[k])
       plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
       plt.xlabel('L')
       plt.ylabel('n(x)')
       plt.xlim([0,L])
       plt.ylim([0,1.1])
       plt.text(8,0.9,'T = '+str(k*dt))
       plt.savefig('n_'+str(int(k*dt))+'.png')
       plt.clf()
    
#criamos gifs usando os plots
images = []
for k in range(T):
    images.append(imageio.imread('n_'+str(k)+'.png'))
imageio.mimsave('difusao_ambipolar_'+str(nu_a)+'_'+str(Da)+'.gif', images, format='GIF', duration=1./10)

O código para as condições de contorno periódicas é levemente diferente, exigindo o acrécimo de duas duas linhas dentro do terceiro loop. Vale notar que aqui não nos preocupamos com o contorno no cáculo de $n_{i}^{1}$ porque a função nos contornos é 0 nos primeiros passos, independente de adotarmos ou não contornos periódicos.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import imageio

dt = 0.01
dx = 0.1
L = 10
T = 50

#constantes do plasma
nu_a = 0.1
Da = 0.5

#constantes para a eq da onda
c = np.sqrt(nu_a*Da)
h = nu_a/2
s = (c*dt/dx)**2

x = np.linspace(0, L, int(L/dx)) #array com as coordenadas espaciais
t = np.linspace(0, T, int(T/dt)) #array com as coordenadas temporais
n = np.zeros((len(t), len(x)))   #matriz com a densidade n(x,t)

#fazemos o plasma inicialmente concentrado em uma regiao
for i in range(int(len(x)/4),int(3*len(x)/4)):
    n[0,i] = 1
plt.plot(x,n[0]) #plota estado inicial da funcao
plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
plt.xlabel('L')
plt.ylabel('n(x)')
plt.ylim([0,1.1])
plt.xlim([0,L])
plt.text(8,0.9,'T = 0.0')
plt.savefig('n_0.png')
plt.clf()

#calculamos o próximo passo considerando dn/dt = 0 inicialmente    
for i in range(1,len(x)-1):
    n[1,i] = 0.5*(2*(1-s)*n[0,i] + s*(n[0,i+1] + n[0,i-1]))

#calculamos a posterior evolucao
for k in range(1, len(t)-1):
    for i in range(1,len(x)-1):
        n[k+1,i] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,i] - (1-h*dt)*n[k-1,i] + s*(n[k,i+1] + n[k,i-1]))
    #condicoes de contorno periodicas
    n[k+1,0] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,0] - (1-h*dt)*n[k-1,0] + s*(n[k,1] + n[k,-1]))
    n[k+1,-1] = (1/(1+h*dt))*(2*(1-s)*n[k,-1] - (1-h*dt)*n[k-1,-1] + s*(n[k,0] + n[k,-2]))
    if k*dt - int(k*dt) == 0: #plota figuras para valores inteiros de t
       plt.plot(x,n[k])
       plt.title(r'$\nu_a=$'+str(nu_a)+'   $D_a=$'+str(Da))
       plt.xlabel('L')
       plt.ylabel('n(x)')
       plt.xlim([0,L])
       plt.ylim([0,1.1])
       plt.text(8,0.9,'T = '+str(k*dt))
       plt.savefig('n_'+str(int(k*dt))+'.png')
       plt.clf()
    
#criamos gifs usando os plots
images = []
for k in range(T):
    images.append(imageio.imread('n_'+str(k)+'.png'))
imageio.mimsave('difusao_ambipolar_'+str(nu_a)+'_'+str(Da)+'PBC.gif', images, format='GIF', duration=1./10)

Referências

↑ http://www.enigmatic-consulting.com/semiconductor_processing/CVD_Fundamentals/plasmas/ambipolar_diffusion.html
↑ Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965)
↑ . http://uigelz.eecs.umich.edu/classes/pub/eecs517/handouts/derivation_ambipolar_diffusion_v02.pdf
↑ H. Najafi and F. Izadi, "Comparison of two finite-difference methods for solving the damped wave equation", viXra, 2016

[esquema-1] ttp://www.enigmatic-consulting.com/semiconductor_processing/CVD_Fundamentals/plasmas/ambipolar_diffusion.html

[Simony+Cahn64-2] Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965)

[Da-3] . http://uigelz.eecs.umich.edu/classes/pub/eecs517/handouts/derivation_ambipolar_diffusion_v02.pdf

[Najafi+Izadi16-4] H. Najafi and F. Izadi, "Comparison of two finite-difference methods for solving the damped wave equation", viXra, 2016

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Linha 12: / Linha 12: @@
 [[Arquivo: Difusao_ambipolar.png|200 px]] <ref name=esquema> http://www.enigmatic-consulting.com/semiconductor_processing/CVD_Fundamentals/plasmas/ambipolar_diffusion.html </ref>
-Como mostrado por Shimony e Cahn<ref name=Simony+Cahn64> Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965) </ref>, esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida
+Como mostrado por Shimony e Cahn<ref name=Simony+Cahn64> Z. Shimony and J. H. Cahn, "Time-dependent ambipolar diffusion waves", The Physics of Fluids 8, 1704 (1965) </ref>, esse problema é descrito por uma equação de onda amortecida para a função de densidade <math>n(\vec r, t)</math>:
 <math>\nabla^2 n(\vec r,t) = \frac{1}{u^2} \frac{\partial^2 n(\vec r,t)}{\partial t^2} + \alpha \frac{\partial n(\vec r,t)}{\partial t} \qquad (1)</math> ,
@@ Linha 27: / Linha 27: @@
 damped wave equation", viXra, 2016 </ref>. Começamos com a forma mais usual de escrever a equação da onda amortecida unidimencional
-<math> \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + 2h \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} \qquad (3) </math>
+<math> \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial t^2} + 2h \frac{\partial n(x,t)}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x^2} \qquad (3) </math>.
@@ Linha 34: / Linha 34: @@
 Discretizando as variáveis do problema, temos que
-<math>x_i = i\Delta x \qquad i = 0,1,2,...,I</math>
+<math>x_i = i\Delta x \qquad i = 0,1,2,...,I</math> ,
-<math>t_k = k\Delta t \qquad k = 0,1,2,...,K</math>
+<math>t_k = k\Delta t \qquad k = 0,1,2,...,K</math>.
 Substituindo as derivadas que aparecem na equação por diferenças finitas, obtemos
-<math> \frac{\partial^2 n}{\partial t^2} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4) </math>
+<math> \frac{\partial^2 n}{\partial t^2} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4) </math> ,
-<math> \frac{\partial n}{\partial t} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4) </math>
+<math> \frac{\partial n}{\partial t} |_i^k = \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4) </math> ,
-<math> \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} |_i^k = \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4) </math>
+<math> \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} |_i^k = \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^2 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4) </math>.
 Substituindo essas relações na equação 3, obtemos
-<math> \left[ \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] + 2h\left[ \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] = c^2\left[ \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4)\right]  </math>
+<math> \left[ \frac{n_i^{k+1} - 2n_i^k + n_i^{k-1}}{\Delta t^2} - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] + 2h\left[ \frac{n_i^{k+1} -n_i^{k-1}}{2\Delta t} - \frac{\Delta t^2}{6}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + O(\Delta t^4)\right] = c^2\left[ \frac{n_{i+1}^k - 2n_i^k + n_{i-1}^k}{\Delta x^2} - \frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O(\Delta x^4)\right]  </math>.
-Omitindo todos os temos de ordem <math>O{\Delta t^2,\Delta x^2}</math> e isolando <math>u_i^{k_1}</math>, obtemos
+Omitindo todos os temos de ordem <math>O\{\Delta t^2,\Delta x^2\}</math> e isolando <math>u_i^{k_1}</math>, obtemos
-<math> u_i^{k+1} = \frac{1}{1 + h\Delta t}[2(1-s)n_i^k - (1 - h\Delta t)n_i^{k-1} + s(n_{i+1}^k + n_{i-1}^k)] \qquad (4) </math>
+<math> u_i^{k+1} = \frac{1}{1 + h\Delta t}[2(1-s)n_i^k - (1 - h\Delta t)n_i^{k-1} + s(n_{i+1}^k + n_{i-1}^k)] \qquad (4) </math> ,
 sendo <math> s = (c^2\Delta t^2/\Delta x^2) </math>.
-Essa é a equação para resolver o problema para <math>k \geq 1</math>, mas nessecitamos ainda de uma maneira de determinar <math>u_i^1</math> a paritr de <math>u_i^0</math>. Para isso assumimos que a função é inicialmente estacionária e fazemos
+Essa é a equação para resolver o problema para <math>k \geq 1</math>, porém o problema envolve uma derivada de segunda ordem no tempo, o que faz com que precisemos saber os dois passos anteriores para calcular o próximo. Então necessitamos ainda de uma maneira de determinar <math>u_i^1</math> a paritr de <math>u_i^0</math>, para então calcular os demais passos. Para isso assumimos que a função é inicialmente estacionária e fazemos
-<math>n_t(x,0) = 0 \Rightarrow \frac{n_i^1 - n_i^{-1}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow n_i^1 = n_i^{-1}</math>
+<math>n_t(x,0) = 0 \Rightarrow \frac{n_i^1 - n_i^{-1}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow n_i^1 = n_i^{-1}</math>.
 Substituindo na equação 4 para <math>k = 0</math> obtemos
-<math> n_i^1 = \frac{1}{2}[2(1-s)n_i^0 + s(n_{i+1}^0 + n_{i-1}^0)] \qquad (5) </math>
+<math> n_i^1 = \frac{1}{2}[2(1-s)n_i^0 + s(n_{i+1}^0 + n_{i-1}^0)] \qquad (5) </math>.
-Com as equações 4 e 5, e tomando as devidas condições de contorno nas bordas, podemos calcular a evolução temporal da função de densidade. Esse método é estável para <math>0 \leq s \leq 1</math> e seu erro é
+Com as equações 4 e 5, e tomando as devidas condições de contorno nas bordas (no caso desse trabalho usamos bordas fixas em 0 e também condições periódicas de contorno), podemos calcular a evolução temporal da função de densidade. Esse método é estável para <math>0 \leq s \leq 1</math> e seu erro é
-<math> E\{n_i^k\} = - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k - \frac{h\Delta t^2}{3}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + c^2\frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O\{\Delta t^4, \Delta x^4\} </math>
+<math> E\{n_i^k\} = - \frac{\Delta t^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial t^4}|_i^k - \frac{h\Delta t^2}{3}\frac{\partial^3 n}{\partial t^3}|_i^k + c^2\frac{\Delta x^2}{12}\frac{\partial^4 n}{\partial x^4}|_i^k + O\{\Delta t^4, \Delta x^4\} </math>.
 == Resultados e Discussão==
-Aplicamos o método descrito acima para simular a evolução da densidade de um plasma se difundindo em um tubo de largura <math>L=10</math>. Fizemos o plasma inicialmente concentrado na região central do tubo: <math>n(x,0)=1</math> para <math>L/4 \leq x \leq 3L/4</math> e <math>n(x,0)=0</math> para <math>x</math> fora dessa região. Usamos <math>\Delta x = 0.1</math> e <math>\Delta t = 0.01</math>, e criamos gifs mostrando a evlução temporal da função de densidade para diferentes valores de <math>\nu_i</math> e <math>D_a</math>. Para garantir a estabilidade do método, essas constantes devem ser tais que <math> 0 \leq \nu_iD_a \leq (\Delta x / \Delta t)^2</math>.
+Aplicamos o método descrito acima para simular a evolução da densidade de um plasma se difundindo em um tubo de largura <math>L=10</math>. Fizemos o plasma inicialmente concentrado na região central do tubo: <math>n(x,0)=1</math> para <math>L/4 \leq x \leq 3L/4</math> e <math>n(x,0)=0</math> para <math>x</math> fora dessa região. Usamos <math>\Delta x = 0.1</math> e <math>\Delta t = 0.01</math>, que resulta em <math>s = 0.01\nu_aD_a</math>, e criamos gifs mostrando a evlução temporal da função de densidade para diferentes valores de <math>\nu_i</math> e <math>D_a</math>. Para garantir a estabilidade do método, essas constantes devem ser tais que <math> 0 \leq \nu_iD_a \leq (\Delta x / \Delta t)^2</math>.
 Quanto à solução nas bordas, fizemos de duas manerias: A primeira foi com condições de contorno fixas em 0 (<math>n(0,t) = n(L,t) = 0</math>) e represenda o caso em que as bordas são um sumidouro, como se fosse um tubo aberto. A segunda foi usando condições de contorno periódicas (<math>n_{I+1}^k = n_0^k</math>) e representa o caso de um tubo fechado.

Difusão ambipolar em plasmas: mudanças entre as edições

Edição das 13h39min de 5 de abril de 2021

Índice

Equação da difusão ambipolar

O Método

Resultados e Discussão

Programas Utilizados

Referências

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Difusão ambipolar em plasmas: mudanças entre as edições

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