Equação de Fitzhugh-Nagumo: mudanças entre as edições

Edição das 16h51min de 1 de abril de 2021

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

O objetivo deste trabalho é implementar e estudar a dinâmica do modelo FitzHungh-Nagumo, e das equações que o compõem, para potenciais de ação em células e tecidos excitáveis. O método computacional utilizado para resolver os problemas e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) e o método de Crank-Nicolson.

Potencial de Ação em Neurônios

A células vivas são sistemas eletricamente sensíveis, ou seja, podem reagir a estímulos elétricos. Isso se dá devido ao fato de que substâncias carregadas estão naturalmente vinculadas a seus processos internos de interação com o ambiente, principalmente por intermédio de canais iônicos e proteínas transmebrana como, por exemplo, a Bomba de Sódio e Potássio(Bomba Na⁺/K⁺ ATPase)[1].

Naturalmente todas as células vivas possuem um potencial de repouso(PR) elétrico, ou seja, uma diferença de potencial elétrico, em relação ao meio(cerca de 0,1); mantida por um equilíbrio químico de concentração de íons dentro e fora da membrana plasmática.

Existem células que reagem estímulos elétricos apenas reestabelecendo o PR original por transporte passivo(sem gasto de energia) através da membrana, e estas são ditas células não-excitáveis.

Por outro lado, existem células que sob a ação do mesmo estímulo produzem um tipo de resposta bem característica: potencial de ação(PA); um pulso elétrico intenso(capaz de inverter a polarização do Potencial de Membrana) que se propaga ao longo da membrana da célula, sustentado por uma cadeia de transportes ativos(com gasto de energia) e que não decai ao longo do tempo e espaço; a esse tipo de células damos o nome de excitáveis[1].

Os Neurônios são as células excitáveis do tecido nervoso(que constituem o encéfalo e medula espinhal, gânglios e nervos do reino animal) e com já vimos são capazes de gerar PA. Um potencial de ação pode assumir diversos formatos, mas ao longo do axônio(Figura 1) de um neurônio eles tendem a uma curva como a da Figura 2.

Figura 1 -Representação de um potencial de ação(vermelho) ao longo de um axônio de neurônio, partindo do soma neural em direção a arvore dentrítica.

Figura 2 -Curva de um Potencial de Ação genérico no tempo, em um ponto do axônio de um neurônio.

Olhando para Figura 2 vemos alguns aspectos importantes:

O potencial de ação necessita de um estímulo mínimo(limiar) para ser ativado, abaixo desse valor o estímulo decai como em uma célula não excitável;
Acima desse limiar a célula segue o principio de "Tudo ou Nada", ou seja, assume o valor máximo possivel dentro de sua capacidade, independente do estímulo aplicado;
A etapa de despolarização(crescimento) é brusca e varia mais rapidamente que a repolarização(decaimento);
O período que contém a repolarização e hiperpolarização da membrana é chamado período refratário, e se caracteriza por não permitir que ocorra nenhum disparo até que a membrana atinja o potencial de repouso.

Modelo

Equação de Nagumo

Para iniciar a modelagem do sistema, devemos antes enfatizar três condições básicas que o potencial deve obedecer para que seja um PA:

Deve existir um limiar de voltagem para que um estímulo desencadeie o PA;
Uma vez atingido o limiar, a voltagem deve aumentar até o máximo possível;
Caso o estímulo não atinja o limiar, ele deve desaparecer rapidamente.

Podemos assim definir a variável normalizada que fará o papel de voltagem como $\upsilon$ , sendo que $\upsilon =0$ é definido como o potencial de repouso, $\upsilon =1$ é o estímulo máximo e $\upsilon =\alpha$ é o limiar de voltagem. Desta forma podemos escrever as condições do potencial escritas acima como

${\begin{cases}Se\ \upsilon >\alpha \Rightarrow \upsilon \rightarrow 1\\Se\ \upsilon <\alpha \Rightarrow \upsilon \rightarrow 0\\\end{cases}}$

Assim, a variação temporal do potencial elétrico na célula pode ser dada por

{\frac {\partial \upsilon }{\partial t}}=f(\upsilon )

Onde $f(\upsilon )$ é alguma função que satisfaz as condições do potencial.

Na modelagem de Nagumo, utilizamos o polinômio de terceiro grau $f_{N}(\upsilon )=-v(v-\alpha )(v-1)$ , que

Método de Crank-Nicolson

(explicar o método --> Natália)

Equação de Nagumo Difusiva 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Natália)

Método FTCS

(explicar o método --> Murilo)

Equação de Recuperação 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Murilo))

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Bernardo)

O sistema de EDP's em 2 dimensões, assumindo uma difusão isotrópica, é dado por

${\frac {\partial v}{\partial t}}=D\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+f_{N}(v)-w$

${\frac {\partial w}{\partial t}}=\epsilon \left(v-\gamma w\right)$

Como a equação de recuperação já foi discretizada, e não depende da dimensão do problema, precisamos apenas aplicar o FTCS na equação difusiva de naumo em 2D, assumindo $\Delta x=\Delta y$

${\frac {v_{i,j}^{n+1}-v_{i,j}^{n}}{\Delta t}}={\frac {D}{(\Delta x)^{2}}}\left[(v_{i-1,j}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i+1,j}^{n})+(v_{i,j-1}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n})\right]+f_{Ni,j}^{n}-w_{i,j}^{n}$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\left[(v_{i-1,j}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i+1,j}^{n})+(v_{i,j-1}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n})\right]+\Delta tf_{Ni,j}^{n}-\Delta tw_{i,j}^{n}$

na qual os índices $i$ e $j$ se referem às coordenadas $x$ e $y$ respectivamente; e o índice $n$ referente ao tempo.

@@ Linha 63: / Linha 63: @@
 O sistema de EDP's em 2 dimensões, assumindo uma difusão isotrópica, é dado por
 <math>\frac{\partial v}{\partial t} = D\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) + f_N(v) - w </math>
 <math>\frac{\partial w}{\partial t} = \epsilon\left(v - \gamma w\right) </math>
 Como a equação de recuperação já foi discretizada, e não depende da dimensão do problema, precisamos apenas aplicar o FTCS na equação difusiva de naumo em 2D, assumindo <math>\Delta x = \Delta y</math>
 <math>\frac{v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}}{\Delta t} = \frac{D}{(\Delta x)^2} \left[ (v_{i-1,j}^{n} - 2 v_{i,j}^{n} + v_{i+1,j}^{n}) + (v_{i,j-1}^{n} - 2 v_{i,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n})\right] + f_{N i,j}^{n} - w_{i,j}^{n}</math>
+<math>v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} + \frac{D \Delta t}{(\Delta x)^2} \left[ (v_{i-1,j}^{n} - 2 v_{i,j}^{n} + v_{i+1,j}^{n}) + (v_{i,j-1}^{n} - 2 v_{i,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n})\right] + \Delta t f_{N i,j}^{n} - \Delta t w_{i,j}^{n}</math>
+na qual os índices <math>i</math> e <math>j</math> se referem às coordenadas <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente; e o índice <math>n</math> referente ao tempo.
 ==Resultados==

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