Teste conv: mudanças entre as edições

Edição das 21h54min de 12 de agosto de 2015

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

(Eq. 1)

S = \int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{N \to \infty} \sum_{i = 0}^{N} f (x_{i}) Δ x

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x^{3}}$

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x^{2}}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

$S = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} f (x, t) = - \int_{S} 𝐉 \cdot d 𝐬 + \int_{V} S (x, t) d V$

$\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} f (x, t) = - \int_{V} (\nabla \cdot 𝐉) d V + \int_{V} S (x, t) d V$

$\int_{V} (\frac{\partial}{\partial t} f (x, t) + \nabla \cdot 𝐉 - S (x, t)) d V = 0$

$\frac{\partial f}{\partial t} = - \nabla \cdot 𝐉 + S (x, t)$

Lei de Fick:

$𝐉 = - D \nabla f$

Onde D é a constante de difusão.

$\frac{\partial f}{\partial t} = - \nabla \cdot (D \nabla f) + S (x, t)$

$\frac{\partial f}{\partial t} = D \nabla^{2} f + S (x, t) + v \frac{\partial f}{\partial x}$

Equação da difusão:

$\frac{\partial f}{\partial t} = D \nabla^{2} f$

Em uma dimensão:

$\frac{\partial f}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}$

FTCS (Foward Time Central Space):

$\frac{\partial f}{\partial t} \to \frac{f (x, t + Δ t) - f (x, t)}{Δ t}$

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \to \frac{f (x, t + Δ t) + f (x - Δ x, t) - 2 f (x, t)}{Δ x^{2}}$

(Escrever a equação em termos numéricos...)

Teste de establilidade do método FTCS:

Um dos modos de Fourier da solução:

$f_{j}^{n} = A^{n} e^{i q j h}$

$h = Δ x$

$f_{j}^{n + 1} = A^{n + 1} e^{i q j h}$

$f_{j + 1}^{n} = A^{n} e^{i q (j + 1) h}$

$f_{j - 1}^{n} = A^{n} e^{i q (j - 1) h}$

$A^{n + 1} e^{i q j h} = k (A^{n} e^{i q (j + 1) h} + A^{n} e^{i q (j - 1) h} - 2 A^{n} e^{i q j h}) + A^{n} e^{i q j h}$

$k = \frac{D Δ t}{Δ x^{2}}$

$| \frac{A^{n + 1}}{A^{n}} | \leq 1$

$\frac{A^{n + 1}}{A^{n}} = 1 + k (e^{i q h} + e^{- i q h} - 2)$

$\frac{A^{n + 1}}{A^{n}} = 1 + 2 k [c o s (q h) - 1]$

$\frac{A^{n + 1}}{A^{n}} = 1 + 4 k s e n^{2} (\frac{q h}{2})$

$ξ = | \frac{A^{n + 1}}{A^{n}} | = | 1 + 4 k s e n^{2} (\frac{q h}{2}) |$

Na pior hipótese, o seno quadrado é 1.

$ξ = | 1 + 4 k | \leq 1$

$0 < k \leq \frac{1}{2}$

@@ Linha 4: / Linha 4: @@
 |}
-<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>
+:<math>S = \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x </math>
-<math> \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV</math>
+<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x^3}</math>
+<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x^2} </math>
+<math> x^3 </math>
+<math> x^2 </math>
+<math>f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x} </math>
+<math> S = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{S}\mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} + \int_{V}S(x,t)dV </math>
 <math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{V}f(x,t) = -\int_{V} (\nabla \cdot \mathbf{J}) dV + \int_{V}S(x,t)dV</math>