Equações de Laplace e Poisson

Grupo: Augusto M Giani e Henrique Padovani

O objetivo deste trabalho é implementar os métodos de Relaxação, Gauss-Seidel e SOR (Simultanoeus OverRelaxation) em problemas de eletroestática, resolvidos pelas equações de Laplace e Poisson. Também temos como objetivo comparar seus resultados: erro entre os métodos e a solução analítica, tempo para estabilização das soluções.

Equações de Laplace e Poisson

A Equação de Laplace descreve o Potencial Elétrico ($\Phi$) de uma determinada região num espaço que não possui nenhuma densidade de carga elétrica (corpo carregado):

$\nabla ^{2}\Phi =0$

ou na sua versão em 2 dimensões: ${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}=0$

Quando neste determinado espaço, delimitado pelas condições de contorno, existe uma densidade de carga, o campo $\Phi$ já não se iguala mais à zero, mas sim à densidade de cargas dentro daquela região, sendo descrito agora pela Equação de Poisson:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$

ou na sua versão em 2 dimensões: ${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$

Método de Relaxação

Como podemos ver ambas as equações não dependem do tempo, porém podemos usar um truque para resolver estas equações aplicando o método **FTCS** (Forward Time Central Space) em uma equação parecida, e fazer a evoluçao temporal durar tempo sufiente para a solução convergir ($t\rightarrow \infty$). Esta operação é chamada de Método de Relaxação.

O que usamos para convergir à solução da Equação de Laplace foi uma equação de difusão genérica:

${\frac {\partial f}{dt}}=D\cdot \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)$

Fazendo $t\rightarrow \infty$, para a equação de difusão temos a intuição que dada condição inicial estacionária, a solução não diverge e "relaxa" para uma função que não depende mais do tempo:

$\lim _{t\rightarrow \infty }f(x,y,t)=f(x,y)$

Com isso: ${\frac {\partial f}{\partial t}}=0$, e chegando assim à Equação de Laplace e possibilitando chegar na discretização da Equação de Poisson. Então basicamente utiliza-se da mesma discretização de uma equação de difusão, porém a evolução temporal só serve para convergirmos à solução da Equação de Laplace com as condições iniciais que propomos.

Métodos Computacionais:

Método de Jacobi "FTCS"

Equação de Laplace $\nabla ^{2}\Phi =0$ :

Para equação de Laplace partimos de:

${\frac {d\Phi }{dt}}=\mu \left({\frac {d^{2}\Phi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\Phi }{dy^{2}}}\right)$

Discretizando, primeiro chegamos que:

$\Phi _{i,j}^{n+1}=\Phi _{i,j}^{n}+\mu \Delta t\left({\frac {\Phi _{i-1,j}^{n}-2\Phi _{i,j}^{n}+\Phi _{i+1,j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {\Phi _{i,j-1}^{n}-2\Phi _{i,j}^{n}+\Phi _{i,j+1}^{n}}{(\Delta y)^{2}}}\right)$

Seguindo mesmo procedimento do método de FTCS, temos a mesma condição de estabilidade:

${\frac {\mu \Delta t}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {\mu \Delta t}{(\Delta y)^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}$

No nosso algoritmo ultizamos $\Delta x=\Delta y$ então obtivemos a condição de estabilidade:

${\frac {\mu \Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\leq {\frac {1}{4}}$

Para o algoritmo de Jacobi (Relaxação) escolhemos o valor de ${\frac {1}{4}}$ e com isso resulta na equação final:

$\Phi _{i,j}^{n+1}={\frac {1}{4}}\left(\Phi _{i-1,j}^{n}+\Phi _{i+1,j}^{n}+\Phi _{i,j-1}^{n}+\Phi _{i,j+1}^{n}\right)$

onde n representa o passo no tempo, i representa o passo em X e j representa o passo em Y. A constante $\mu$ somente representava uma similaridade com a equação de difusão para demonstrar que este valor não interfere na equação final, ele sequer aparece (portanto podemos desconsiderá-lo, como faremos na equação de Poisson).

Equação de Poisson $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {-\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$:

Partindo de:

${\frac {d\Phi }{dt}}={\frac {d^{2}\Phi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\Phi }{dy^{2}}}+{\frac {\rho (x,y)}{\epsilon _{0}}}$

chegamos em:

$\Phi _{i,j}^{n+1}=\Phi _{i,j}^{n}+\Delta t\left({\frac {\Phi _{i-1,j}^{n}-2\Phi _{i,j}^{n}+\Phi _{i+1,j}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {\Phi _{i,j-1}^{n}-2\Phi _{i,j}^{n}+\Phi _{i,j+1}^{n}}{(\Delta y)^{2}}}\right)+{\frac {\Delta t\rho _{i,j}}{\epsilon _{0}}}$

Para nosso problema $\Delta x=\Delta y$, então multiplicando os dois lados por ${\frac {\Delta x^{2}}{\Delta t}}$, chegamos em:

$$\Phi^{n+1}_{i,j}\frac{\Delta x^2}{\Delta t} = \frac{\Delta x^2}{\Delta t}\Phi^{n}_{i,j} - 4\Phi^{n}_{i,j} + \Phi^{n}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} + \frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0}$$

E finalmente, aplicando a condição de estabilidade $\frac{\Delta t} {\Delta x^2} = \frac{1}{4}$ e cancelando os termos $\Phi^{n}_{i,j}$:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\Phi^{n}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} + \frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0}\right)$$

1. 1. 1. 1. 1. **Método de Gauss-Seidel**:

Como pode-se notar, o termo que distingue a Equação de Laplace para a Equação de Poisson é apenas o termo que soma $\left(\frac{1}{4}\frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0} \right)$ ao lado direito da equação. Para demonstrar as próximas discretizações, as deduções foram deixadas de lado pelo fato de que são irrelevantes, tendo entendido de onde vem as equações.

O Método de Gausse-Seidel adianta (no tempo) a chegada da solução estacionária, utilizando termos que já foram calculados num passo anterior de tempo para calcular o ponto atual, respectivamente para equação de Laplace e Poisson, utilizamos na nossa implementação:

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\Phi^{n+1}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n+1}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1}\right)$$

e

$$\Phi^{n+1}_{i,j} = \frac{1}{4}\left(\Phi^{n+1}_{i-1,j} + \Phi^{n}_{i+1,j} + \Phi^{n+1}_{i,j-1} + \Phi^{n}_{i,j+1} + \frac{\Delta x^2 \rho_{i,j}}{\epsilon_0}\right)$$

1. 1. 1. 1. 1. **Método SOR, Simultanoeus Overrelaxation**:

Como pode-se notar nas equações (é mais intuitivo na forma discretizada da Equação de Laplace), a atualização de um ponto $\Phi^{n+1}_{i,j}$ é feita através de uma espécie de "média" dos pontos, no tempo anterior, ao seu arredor (o ponto acima, à direita, à esquerda e abaixo O método introduz no cálculo pesos

1. 1. 1. 1. 1. **Resultados:**