Modelo de Turing

EM CONSTRUÇÃO

Equação de Turing

Simulações computacionais que envolvem equações diferenciais parciais (EDP's) são usualmente modeladas através da discretização das variáveis espaciais e temporais. Algumas dessas equações descrevem comportamentos difusivos no sistema, sendo chamadas de equações de difusão. Tais equações envolvem variáveis de estado que apresentam variações temporal e espacial e coeficientes de difusão no sistema, além de outros parâmetros que influenciam na evolução dos estados. Dentro desse ramo de equações, encontra-se o Modelo de Turing, desenvolvido por Alan Turing, que utiliza como base a concentração de espécies em um sistema, avaliando sua reação, difusão e variação espacial e temporal. São muitas as aplicações do modelo, principalmente em ramos como biologia e química, envolvendo problemas com formação de padrões. A seguir, descrevemos sua formulação matemática.

Sejam $u$ e $v$ as concentrações das espécies que serão analisadas. Sejam $a,b,c$ e $d$ parâmetros e $h$ e $k$ constantes. Os coeficientes de difusão são $D_{u}$ e $D_{v}$, cada um associado a uma das concentrações. O Modelo de Turing é dado pelas EDP's

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a(u-h)+b(v-k)+D_{u}\nabla ^{2}u$

${\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}=c(u-h)+d(v-k)+D_{v}\nabla ^{2}v$

Note que certa parte de cada equação depende apenas dos parâmetros e das concentrações. Podemos, portanto, utilizar funções de variáveis $u$ e $v$ para descrever o sistema, de modo que

$u_{t}=D_{u}\nabla ^{2}u+f(u,v)$

$v_{t}=D_{v}\nabla ^{2}v+g(u,v)$

Estabilidade e instabilidade no modelo de Turing

Já vimos que o modelo de Turing depende de parâmetros $a,b,c,d$, de constantes $h$ e $k$ e dos coeficientes de difusão.

Afirmação: Se $D_{u}=D_{v}=0$, temos ($v_{eq},u_{eq})=(h,k)$ como o único ponto de equilíbrio.

Demonstração: Mostraremos que $(h,k)$ é ponto de equilíbrio. De fato, ao aplicarmos esse ponto na equação do modelo de Turing, temos

$u_{t}{\Bigg |}_{u=k}=0=v_{t}{\Bigg |}_{v=h}$

para mostrar que é único, suponha que existem dois pontos de equilíbrio, a saber, $(v_{1},u_{1})$ e $(v_{2},u_{2})$. Vemos que, como as equações diferenciais em cada ponto fixo são iguais a zero, temos

$a(u_{1}-u_{2})+b(v_{1}-v_{2})=0$

e

$c(u_{1}-u_{2})+d(v_{1}-v_{2})=0$

Consequentemente, devemos ter

$\left(b-{\frac {ad}{c}}\right)(v_{1}-v_{2})=0\Longrightarrow v_{1}=v_{2}$.

Do mesmo modo, $u_{1}=u_{2}$. Portanto, o ponto de equilíbrio é único nessas circunstâncias.