Gás de Rede 2D

EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de $N$ partículas da forma $\sigma ={\sigma }_1,{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_N$ onde cada sítio da rede pode assumir o valor $1$, ocupado por uma partícula, ou $0$, não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

${\mathscr{H}}=-ϵ\sum _{⟨i,j⟩}{\sigma }_i{\sigma }_j$

Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e $ϵ$ é a constante de interação entre as partículas, para $ϵ\ge 0$ a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com $L^2$ sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante $\rho$ de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

$\sum _i{\sigma }_i=\rho L^2$

Fazendo uma mudança de variáveis da forma $s_i=2{\sigma }_1-1$ saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising , spins Up e Down. A variável $s_i$ assume valor $+1$ (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e $-1$ quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

${\mathscr{H}}=-\frac{1}{4}ϵ\sum _{⟨i,j⟩}(s_i+1)(s_j+1)$

${\mathscr{H}}=-\frac{1}{4}ϵ\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i{s}_j-\frac{1}{2}zϵ\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i-\frac{1}{2}zϵL^2$

Onde $z$ é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano de Ising com campo magnético, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

$\sum _i{s}_i=(2\rho -1)L^2$

E aplicando no Hamiltoniano obtemos

${\mathscr{H}}=-\frac{1}{4}ϵ\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i{s}_j-zϵL^2\rho$

Como $z$, $\rho$ e $L^2$ são constantes, o segundo termo é constante. Definindo $J=ϵ/4$ o Hamiltoniano se torna

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i{s}_j+\text{constante}$

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado, como veremos mais tarde . Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.

Programas Utilizados

Programas na linguagem C

Ising com Campo

Gás de Rede sem Densidade Constante

Gás de Rede com Densidade Constante