Gás de Rede 2D

EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de $N$ partículas da forma $\sigma ={\sigma _{1},\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{N}}$ onde cada sítio da rede pode assumir o valor $1$, ocupado por uma partícula, ou $0$, não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

${\mathcal {H}}=-\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$

Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e $\epsilon$ é a constante de interação entre as partículas, para $\epsilon \geq 0$ a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com $L^{2}$ sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante $\rho$ de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

$\sum _{i}\sigma _{i}=\rho L^{2}$

Fazendo uma mudança de variáveis da forma $s_{i}=2\sigma _{1}-1$ saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising , spins Up e Down. A variável $s_{i}$ assume valor $+1$ (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e $-1$ quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }(s_{i}+1)(s_{j}+1)$

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{2}}z\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}-{\frac {1}{2}}z\epsilon L^{2}$

Onde $z$ é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano de Ising com campo magnético, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

$\sum _{i}s_{i}=(2\rho -1)L^{2}$

E aplicando no Hamiltoniano obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-z\epsilon L^{2}\rho$

Como $z$, $\rho$ e $L^{2}$ são constantes, o segundo termo é constante. Definindo $J=\epsilon /4$ o Hamiltoniano se torna

${\mathcal {H}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}+{\text{constante}}$

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado, como veremos mais tarde . Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.