Gás de Rede 2D

EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de $N$ partículas da forma $\sigma ={\sigma _{1},\sigma _{1},\dotsc ,\sigma _{N}}$ onde cada sítio da rede pode assumir o valor $1$, ocupado por uma partícula, ou $0$, não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

${\mathcal {H}}=-\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$

Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e $\epsilon$ é a constante de interação entre as partículas, para $\epsilon \geq 0$ a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com $L^{2}$ sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante $\rho$ de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

$\sum _{i}\sigma _{i}=\rho L^{2}$

Fazendo uma mudança de variáveis da forma $s_{i}=2\sigma _{1}-1$ saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising , spins Up e Down. A variável $s_{i}$ assume valor $+1$ (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e $-1$ quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }(s_{i}+1)(s_{j}+1)$

${\mathcal {H}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-{\frac {1}{2}}z\epsilon \sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}-{\frac {1}{2}}z\epsilon L^{2}$

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Utilizando a mesma mudança de variáveis a condição de densidade constante se torna

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i} s_i = (2\rho - 1) L^2}

E aplicando no Hamiltoniano obtemos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - \frac{1}{4} \epsilon \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - z \epsilon L^2 \rho }

Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L^2} são constantes, o segundo termo é constante. Definindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = \epsilon / 4} o Hamiltoniano se torna

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j + \text{constante}}

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela não aparece nos cálculos <ref name=BARKEMA>M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.<ref>. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético.