Grupo - Modelo de Potts: mudanças entre as edições
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Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina. | Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina. | ||
=Descrição do modelo= | |||
No modelo de Potts à <math>q</math> estados são considerados <math>N</math> spins <math>s_i</math> dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de <math>q</math> estados possíveis. | No modelo de Potts à <math>q</math> estados são considerados <math>N</math> spins <math>s_i</math> dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de <math>q</math> estados possíveis. | ||
O Hamiltoniano desse sistema é | O Hamiltoniano desse sistema é | ||
<math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math> | <math>H_p = -J \sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) </math> | ||
onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos. | onde <math>J</math> é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, <math>\delta(s_i,s_j)</math> é a função delta de Kronecker que retorna <math>1</math> se <math>s_i=s_j</math> e retorna <math>0</math> para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares <math>(i,j)</math> de spins vizinhos. | ||
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No caso ferromagnético <math>J>0</math> o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à <math>q</math> correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados. | No caso ferromagnético <math>J>0</math> o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à <math>q</math> correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados. | ||
É | É importante remarcar que para <math>q=2</math> o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento <math>\frac{J}{2}</math> a menos de uma constante aditiva <math>\sum_{(i,j)}\frac{J}{2}</math> no Hamiltoniano. | ||
==Simulação Monte Carlo | <math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -J\sum_{(i,j)} \delta(s_i,s_j) + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} (2\delta(s_i,s_j) - 1) </math> | ||
nesse caso os spins <math>s_i</math> e <math>s_j</math> tem apenas dois valores possíveis e | |||
<math> 2\delta(s_i,s_j) - 1 = \begin{cases} | |||
1, \quad \text{se } s_i = s_j \\ | |||
-1, \quad \text{se } s_i \neq s_j | |||
\end{cases}</math> | |||
logo considerando como valores possíveis para os spin como <math>-1</math> e <math>1</math> encontramos | |||
<math>H_I = H_p + \sum_{(i,j)}\frac{J}{2} = -\frac{J}{2}\sum_{(i,j)} s_i s_j </math> | |||
=Simulação Monte Carlo= | |||
A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com <math>q</math> pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de <math>q</math> esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico. | A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com <math>q</math> pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de <math>q</math> esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico. | ||
==Referências | |||
==Amostragem por importância== | |||
Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância. | |||
As condições necessárias para a amostragem por importância são: | |||
* Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov. | |||
* Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica <math>P(\mu \rightarrow \nu)</math> vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição <math>{p_\mu}</math>. | |||
<math>p_\mu P(\mu \rightarrow \nu) = p_\nu P(\nu \rightarrow \mu)</math> | |||
No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann | |||
<math>p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}</math> | |||
Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado <math>g(\mu \rightarrow \nu)</math>, a probabilidade de considerar <math>\nu</math> como o próximo estado na cadeia dado o estado atual <math>/mu</math>, e uma probabilidade de aceitação de transição <math>A(\mu \rightarrow \nu)</math> | |||
<math>P(\mu \rightarrow \nu) = g(\mu \rightarrow \nu)A(\mu \rightarrow \nu)</math> | |||
o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção | |||
<math>g(\mu \rightarrow \nu) = g(\nu \rightarrow \mu) = \frac{1}{N} \quad \forall \mu, \nu</math> | |||
que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação: | |||
<math>\frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{p_\nu}{p_\mu} = e^{\beta (E_\nu - E_\mu)}</math> | |||
que é satisfeita com a seguinte lei de seleção: | |||
<math> A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases} | |||
e^{-\beta(E_\nu - E_\mu)}, \quad \text{se } E_\nu > E_\mu \\ | |||
1, \quad \text{caso contrario} | |||
\end{cases}</math> | |||
O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin | |||
=Referências= | |||
Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings. | Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings. | ||
M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999. | M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999. | ||
Edição das 20h43min de 24 de janeiro de 2018
Originalmente descrito por Renfrey Potts em 1951 na sua tese de doutorado, esse modelo é uma generalização do modelo de Ising para a interação entre spins em uma rede cristalina.
Descrição do modelo
No modelo de Potts à estados são considerados spins dispostos em uma rede, geralmente bidimesnsional retangular, cada spin podendo estar em um de estados possíveis.
O Hamiltoniano desse sistema é
onde é a constante de acoplamento que determina a intensidade da interação, é a função delta de Kronecker que retorna se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i=s_j} e retorna Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} para todos os outros casos, e o somatório considera somente os pares Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (i,j)} de spins vizinhos.
No caso ferromagnético Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J>0} o nivel fundamental de energia possui uma degenerescência igual à Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} correspondendo aos valores possíveis para todos os spins alinhados.
É importante remarcar que para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=2} o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising com constante de acoplamento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{J}{2}} a menos de uma constante aditiva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{(i,j)}\frac{J}{2}} no Hamiltoniano.
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nesse caso os spins Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_j} tem apenas dois valores possíveis e
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\delta(s_i,s_j) - 1 = \begin{cases} 1, \quad \text{se } s_i = s_j \\ -1, \quad \text{se } s_i \neq s_j \end{cases}}
logo considerando como valores possíveis para os spin como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} encontramos
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Simulação Monte Carlo
A abordagem utilizada para simular por Monte Carlo um sistema seguindo o modelo de Potts com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} pequeno é naturalmente similar àquela utilizada para o modelo de Ising, seguindo o algoritmo de Metropolis. Entretanto para valores mais elevados de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} esse algoritmo se torna ineficiente e o sistema demora um tempo muito longo para entrar em equilíbrio térmico.
Amostragem por importância
Para entender porque o algoritmo de Metropolis não é otimal para uma simulação Monte Carlo de um sistema seguindo o modelo de Potts devemos nos lembrar como ele resolve o problema de amostragem por importância.
As condições necessárias para a amostragem por importância são:
- Ergodicidade: a garantia de que qualquer estado do sistema é acessível à partir de qualquer outro estado dado um comprimento suficientemente grande da cadeia de Markov.
- Balanço detalhado: a garantia de que a cadeia de Markov de matriz estocástica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\mu \rightarrow \nu)} vai convergir, quando o sistema atingir o equilíbrio térmico, para uma dada distribuição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {p_\mu}} .
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No caso do ensemble canônico essa distribuição é a distribuição de Boltzmann
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_\mu = \frac{1}{Z}e^{-\beta E_\mu}}
Considerando a probabilidade de transição de estado como o produto de uma probabilidade de seleção de um novo estado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\mu \rightarrow \nu)} , a probabilidade de considerar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} como o próximo estado na cadeia dado o estado atual Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle /mu} , e uma probabilidade de aceitação de transição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu)}
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o algoritmo de Metropolis atribui um valor fixo e uniforme para a probabilidade de seleção
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\mu \rightarrow \nu) = g(\nu \rightarrow \mu) = \frac{1}{N} \quad \forall \mu, \nu}
que claramente garante a ergodicidade, restando apenas uma condição sobre os valores das probabilidades de aceitação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A(\mu \rightarrow \nu)}{A(\nu \rightarrow \mu)} = \frac{p_\nu}{p_\mu} = e^{\beta (E_\nu - E_\mu)}}
que é satisfeita com a seguinte lei de seleção:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(\mu \rightarrow \nu) = \begin{cases} e^{-\beta(E_\nu - E_\mu)}, \quad \text{se } E_\nu > E_\mu \\ 1, \quad \text{caso contrario} \end{cases}}
O problema desse algoritmo para um modelo como o de Potts que admite um número elevado de estados possíveis para o spin
Referências
Potts, Renfrey B. (1952). "Some Generalized Order-Disorder Transformations". Mathematical Proceedings.
M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.