Área 2

A) "tecnicalidades"

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O que estes programas escrevem na tela?

1)

...
j=0;
do{
j++;
i = 4*j ;
printf("i=%d j=%d \n", i, j) ;
}while(i<=10) ;
printf("\n j=%d \n", j) ; 
...

2)

...
for(j=0 ; j<3 ; j++)
{ 
printf(" j=%d \n\n", j );
for(i=j; i<3 ; i++)
{
k=i+j ;
printf("i=%d k=%d\n", i, k);
}
} 
...

3) Abaixo você encontra partes de programas. Eles contêm erros. Identifique-os e pense no que você faria para resolvê-los.

3.a) Ponto a ser observado: uso de variáreis globais e/ou locais

...
float A ;
void main()
{ 
float B ;
operações dentro da função main() ...
}
float Soma()
{
return (A+B);
}
...

Como você faria para construir uma função que retornasse a soma de dois números reais?

3.b) Ponto a ser observado: alocação estática de memória

...
main()
{ 
int i;
float mat1[ i ] ;

for (i=0; i<10; i++)
mat1[ i ] = (float)rand()/RAND_MAX ; 
}
...

B) Derivação e integração numéricas

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Legenda para esta seção:

f'(x) : derivada primeira da função f(x) h = (xb-xa)/N , xa, xb são início e fim do intervalo de intregração respectivamente e N é o número de vezes que este intervalo é dividido. Considere as seguintes funções

$f(x)=x^{2}+6x$

$g(x)=1/(x+3)$

$p(x)=exp(-x)/(x^{3}-1)$

1- Usando o método da derivada à direita, calcule f'(x) nos pontos x=-2 e 2. Como você sabe se o valor encontrado é correto sem calcular o valor analítico de f'(x) ?

2- Use o mesmo programa feito em (1) para calcular g'(-10), g'(-2). Faça h variar de $h=10^{-10}$ até h=1. O intervalo de h durante o qual g'(x) é constante é o mesmo para x=-10 e para x=-2? Como você interpreta isto?

3- Informação: o erro associado ao método da derivada à direita é linear em h, enquanto o método da derivada centrada tem um erro da ordem de h2.

3a - O que significa isto?

3b - Mostre analiticamente (dica: se baseia no que está feito na complex-wiki e foi discutido em aula)

4 - Use o método da derivada centrada para calcular a derivada da função p(x) nos pontos x: -2, 0.5, 2 e 5. Para cada um destes pontos, faça "h" variar bastante (digamos, entre 10-10 e 1) e compare os resultatos num gráfico feito em gnuplot. Faça um gráfico com as curvas p'(x) em todos os pontos pedidos com seus respectivos valores analíticos comparativos. Note que o intervalo para o qual a derivada numérica converge para o seu valor analítico depende da proximidade do valor de x ao ponto de divergência da função g(x). Por quê?

5 - Construa um programa usando o método de Simpson para calcular a integral de g(x) entre -10 e -4. Compare a precisão do resultado obtido com o programa feito em aula onde aplicamos o método do trapézio.

6 - Aplique o método de Simpson para diversos valores de N. Calcule o erro usando Erro(N) = |Int(N)-Int(N-2)|/|Int(N)|, onde Int(N) é o valor da integral de g(x) para um dado N. Faça este processo até que o erro atinja um valor mínimo estipulado pelo usuário.

7 - Mostre analiticamente que o método do trapézio tem um erro da ordem de f(x)*h3. Dica para fazer esta demonstração:

1- escreva a expressão da regra do trapézio para a f(x) E compare-a com o valor exato de uma integral da f(x)

2- expanda a expressão f(x) na expressão do trapézio E na expressão do valor exato

3- compare termo a termo as duas expressões. Você verá que os termos são idênticos até a ordem $h^{2}$. A partir de $h^{3}$ eles têm uma diferença.

PS: O algoritmo de Simpson tem um erro da ordem de $h^{5}*f(4)$ . O procedimento para demonstração é o mesmo, mas neste é mais longo. Faça se quiser, mas o importante é que você entenda a idéia.