Modelo de Potts -- 2D

Introdução

O Modelo de Potts

O modelo de Potts (Potts, 1951) pode ser descrito como uma generalização do modelo de Ising (Ising, 1925) para um sistema de N spins e Q-estados (Q > 2).

Originalmente, o problema proposto por Domb era o de compreender o modelo de Ising como um sistema de spins, em que os spins podem ser paralelos ou antiparalelos. Desse modo, a generalização seria considerar que os spins estivessem sobre um plano, em que cada spin estivesse apontando para direções diferentes, igualmente espaçadas por um ângulo $\mathrm{\Theta }$ definido por Q:

${\mathrm{\Theta }}_n=\frac{2\pi n}{Q}$, em que n = (0, 1, 2, ..., Q-1).

Representação dos spins para $Q=2$.

Representação dos spins para $Q=3$.

Representação dos spins para $Q=4$.

A energia de cada interação entre dois spins é dada pelo potencial $V(s_i,s_j)=-J\delta (s_i,s_j)$, em que $J$ é a constante de interação entre os dois spins . Esse tipo de sistema o Hamiltoniano da forma:

${\mathscr{H}}=-J\sum _{⟨i,j⟩}\delta (s_i,s_j)$

Para o caso em que o modelo de Potts é equivalente ao modelo de Ising, temos que Q = 2, então:

${\mathrm{\Theta }}_n=\pi n,n=(0,1,2,...,Q-1)$

$V(s_i,s_j)=\{\begin{array}{l}-\frac{J}{2},\text{se }{s}_i=s_j\\ \frac{J}{2},\text{se }{s}_i\ne s_j\end{array}$

Código

Para gerar estas simulações, foi produzido um código em Python3. Utilizamos as bibliotecas seguintes bibliotecas: Numpy, em que usamos os gerador de números aleatórios e as arrays; Numba, para otimizar as funçẽos e acelerar o código; e Matplotlib, que utilizamos para gerar os códigos.