Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x,t)=0$

onde $\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\Delta t$ criando uma sequência de pontos $t_{n}=n\Delta t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\Delta x$ criando uma sequência de pontos $x_{i}=i\Delta x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}$ e ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {u_{i}^{n+1}-2u_{i}^{n}+u_{i}^{n-1}}{(\Delta t)^{2}}}$ para o tempo.

${\frac {\partial u}{\partial x}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}e{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial t^{2}}}\approx {\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\Delta x,t)}{(\Delta x)^{2}}}$

ou seja:

${\frac {\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}}=c^{2}{\frac {\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)={\frac {c^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta ,t)-{\frac {m^{2}c^{4}\Delta t^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

chamarei $\alpha ={\frac {c\Delta t}{\Delta x}}$ e $\beta ={\frac {mc^{2}\Delta t}{\hbar }}$

portanto, $\psi (x,t+\Delta t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)=\alpha ^{2}\psi (x+\Delta x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\Delta t)-\beta ^{2}\psi$

ou, mais usualmente: $\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+\alpha ^{2}(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n})-\beta ^{2}\psi$

ESTABILIDADE

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

$\psi _{i}^{n+1}=2\psi _{i}^{n}-\psi _{i}^{n-1}+\alpha ^{2}\left(\psi _{i+1}^{n}-2\psi _{i}^{n}+\psi _{i-1}^{n}\right)-\beta ^{2}\psi _{i}^{n}$.

sendo $\psi _{i}^{n}=A^{n}e^{iki\Delta x}$ o Modo de Furrier.

Substituímos $\psi _{i}^{n},\psi _{i+1}^{n}$, e $\psi _{i-1}^{n}$na equação:

$\psi _{i+1}^{n}=A^{n}e^{ik(i+1)\Delta x}=A^{n}e^{iki\Delta x}e^{ik\Delta x}$

$\psi _{i-1}^{n}=A^{n}e^{ik(i-1)\Delta x}=A^{n}e^{iki\Delta x}e^{-ik\Delta x}$

Usamos a identidade $e^{ik\Delta x}+e^{-ik\Delta x}=2\cos(k\Delta x)$:

$A^{n+1}=2A^{n}-A^{n-1}+\alpha ^{2}\left[2\cos(k\Delta x)-2\right]A^{n}-\beta ^{2}A^{n}$

Fatoramos:

$A^{n+1}=\left(2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\cos(k\Delta x)\right)A^{n}-A^{n-1}.$

A relação de recorrência é:

$A^{n+1}-\lambda A^{n}+A^{n-1}=0$

onde

$\lambda =2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\cos(k\Delta x)$.

A equação característica associada é:

$\mu ^{2}-\lambda \mu +1=0$

onde $\mu$ são as raízes que representam o fator de amplificação $\mu =|{\frac {A^{n+1}}{A^{n}}}|$.

Para que o método seja estável, as raízes $\mu$ devem satisfazer $\|\mu |\leq 1$. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

$\lambda ^{2}-4\leq 0$.

Substituímos $\lambda$:

$\left(2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\cos(k\Delta x)\right)^{2}-4\leq 0$.

O caso crítico ocorre para o maior valor de $cos(k\Delta x)$, que é $cos(k\Delta x)=1$, e o menor valor, $cos(k\Delta x)=-1$:

$cos(k\Delta x)=1$:

$\lambda =2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}+2\alpha ^{2}$.

Isso simplifica para:

$\lambda =2-\beta ^{2}$

Para estabilidade:

$(2-\beta ^{2})^{2}-4\leq 0$.

$\beta ^{2}\leq 2$.

Para $cos(k\Delta x)=-1$:

$\lambda =2-2\alpha ^{2}-\beta ^{2}-2\alpha ^{2}$.

$\lambda =2-4\alpha ^{2}-\beta ^{2}$.

Para estabilidade:

$(2-4\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}-4\leq 0$.

Após expandir:

$4\alpha ^{2}+\beta ^{2}\leq 4$.

A condição de estabilidade combinada é:

$4\alpha ^{2}+\beta ^{2}\leq 4\quad {\text{e}}\quad \beta ^{2}\leq 2$.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.