Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^2{c}^2+m^2{c}^4$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$(◻+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2})\psi (x,t)=0$

onde $(◻=\frac{{\partial }^2}{c^2\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\mathrm{\Delta }t$ criando uma sequência de pontos $t_n=n\mathrm{\Delta }t$. Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos $\mathrm{\Delta }x$ criando uma sequência de pontos $x_i=i\mathrm{\Delta }x$. Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

$\frac{\partial u}{\partial t}\approx \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\mathrm{\Delta }t}$ e $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\approx \frac{u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1}}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$ para o tempo.

$\frac{\partial u}{\partial x}\approx \frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\mathrm{\Delta }x}e\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\approx \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$ para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial t^2}\approx \frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}$

$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}\approx \frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x-\mathrm{\Delta }x,t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

ou seja:

$\frac{\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=c^2\frac{\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}\psi$

isso nos leva a equação final:

$\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)=\frac{c^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta },t)-\frac{m^2{c}^4\mathrm{\Delta }{t}^2}{{\hslash }^2}\psi$

chamarei $\alpha =\frac{c\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$ e $\beta =\frac{m{c}^2\mathrm{\Delta }t}{\hslash }$

portanto, $\psi (x,t+\mathrm{\Delta }t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)={\alpha }^2\psi (x+\mathrm{\Delta }x,t)-2\psi (x,t)+\psi (x,t-\mathrm{\Delta }t)-{\beta }^2\psi$

ou, mais usualmente: ${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+{\alpha }^2({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-{\beta }^2\psi$

ESTABILIDADE

Para analisar a estabilidade do método utilizaremos os Modos de Furrier.

${\psi }_i^{n+1}=2{\psi }_i^n-{\psi }_i^{n-1}+{\alpha }^2({\psi }_{i+1}^n-2{\psi }_i^n+{\psi }_{i-1}^n)-{\beta }^2{\psi }_i^n$.

sendo ${\psi }_i^n=A^n{e}^{iki\mathrm{\Delta }x}$ o Modo de Furrier.

Substituímos ${\psi }_i^n,{\psi }_{i+1}^n$, e ${\psi }_{i-1}^n$na equação:

${\psi }_{i+1}^n=A^n{e}^{ik(i+1)\mathrm{\Delta }x}=A^n{e}^{iki\mathrm{\Delta }x}{e}^{ik\mathrm{\Delta }x}$

${\psi }_{i-1}^n=A^n{e}^{ik(i-1)\mathrm{\Delta }x}=A^n{e}^{iki\mathrm{\Delta }x}{e}^{-ik\mathrm{\Delta }x}$

Usamos a identidade $e^{ik\mathrm{\Delta }x}+e^{-ik\mathrm{\Delta }x}=2\cos (k\mathrm{\Delta }x)$:

$A^{n+1}=2A^n-A^{n-1}+{\alpha }^2[2\cos (k\mathrm{\Delta }x)-2]A^n-{\beta }^2{A}^n$

Fatoramos:

$A^{n+1}=(2-2{\alpha }^2-{\beta }^2+2{\alpha }^2\cos (k\mathrm{\Delta }x))A^n-A^{n-1}.$

A relação de recorrência é:

$A^{n+1}-\lambda A^n+A^{n-1}=0$

onde

$\lambda =2-2{\alpha }^2-{\beta }^2+2{\alpha }^2\cos (k\mathrm{\Delta }x)$.

A equação característica associada é:

${\mu }^2-\lambda \mu +1=0$

onde $\mu$ são as raízes que representam o fator de amplificação.

Para que o método seja estável, as raízes $\mu$ devem satisfazer $\Vert \mu |\le 1$. Isso é garantido se o discriminante da equação característica satisfizer:

${\lambda }^2-4\le 0$.

Substituímos $\lambda$:

${(2-2{\alpha }^2-{\beta }^2+2{\alpha }^2\cos (k\mathrm{\Delta }x))}^2-4\le 0$.

O caso crítico ocorre para o maior valor de $cos(k\mathrm{\Delta }x)$, que é $cos(k\mathrm{\Delta }x)=1$, e o menor valor, $cos(k\mathrm{\Delta }x)=-1$:

   Para \(\cos(k \Delta x) = 1\):
   
   $\lambda =2-2{\alpha }^2-{\beta }^2+2{\alpha }^2$.
  
   Isso simplifica para:
 
 $\lambda =2-{\beta }^2$ 
  
   Para estabilidade:
  
 $(2-{\beta }^2{)}^2-4\le 0$.
 
   
 ${\beta }^2\le 2$.
 
   
   \item Para $cos(k\mathrm{\Delta }x)=-1$:
   
   $\lambda =2-2{\alpha }^2-{\beta }^2-2{\alpha }^2$.
   
   $\lambda =2-4{\alpha }^2-{\beta }^2$.
  
   Para estabilidade:
  
   $(2-4{\alpha }^2-{\beta }^2{)}^2-4\le 0$.
  
   Após expandir:
   
  $4{\alpha }^2+{\beta }^2\le 4$.
   

A condição de estabilidade combinada é:

<math> 4\alpha^2 + \beta^2 \leq 4 \quad \text{e} \quad \beta^2 \leq 2 <math>.

Essas desigualdades controlam os passos de tempo e espaço, garantindo a estabilidade do método.