Equação de Klein-Gordon

INTRODUÇÃO

A equação de Klein-Gordon é uma das equações fundamentais na teoria quântica relativística. Ela descreve partículas escalares (partículas sem spin, como os mésons, em seu modelo básico) e é uma extensão relativística da equação de Schrödinger, incorporando a relação de energia relativística de Einstein $E=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$. A equação é nomeada em homenagem a Oskar Klein e Walter Gordon, que a formularam independentemente. De maneira geral, a equação pode ser escrita como:

$\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (x,t)=0$

onde $\left(\Box ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ é chamado operador de d'Alambert.

Abrindo a equação, é obtido:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi -{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\psi$ (em uma dimensão)

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS

O método das diferenças finitas é uma técnica numérica amplamente utilizada para resolver EDPs. Ele envolve a discretização das variáveis contínuas (geralmente no tempo ou no espaço), transformando as equações diferenciais em sistemas algébricos que podem ser resolvidos numericamente. Os primeiros passos para utilizar o método é fazer a discretização no tempo e no espaço. Para uma equação no tempo você discretiza o tempo em intervalos $\Delta t$ criando uma sequência de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_n=n\Delta t } . Para uma equação no espaço você discretiza o espaço em intervalos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x } criando uma sequência de pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i=i\Delta x } . Depois de discretizar o espaço e o tempo, as derivadas contínuas são aproximadas por diferenças finitas. Isso envolve substituir as derivadas por aproximações baseadas nos valores de uma função nos pontos discretos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \approx \frac{u_i^{n+1} - 2u_i^n + u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} } para o tempo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u_{i+1}^n - u_i^n}{\Delta x} e \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2u_i^n + u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} } para o espaço.

Na equação de Klein-Gordon, escrevemos desta o método das diferenças finitas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial t^2} \approx \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} \approx \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x- \Delta x,t)}{(\Delta x)^2} }

ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta t)^2} = c^2 \frac{\psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t)}{(\Delta x)^2} - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi }

isso nos leva a equação final:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\frac{c^2 \Delta t^2}{\Delta x^2} \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta,t) - \frac{m^2 c^4 \Delta t^2}{\hbar^2} \psi }

chamarei Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac{c \Delta t}{\Delta x} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = \frac{m c^2 \Delta t}{\hbar} }

portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,t+\Delta t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) =\alpha^2 \psi(x+\Delta x,t) - 2\psi(x,t) + \psi(x,t-\Delta t) - \beta^2 \psi }

ou, mais usualmente: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^{n+1} = 2\psi_i^n - \psi_i^{n-1} + \alpha^2 ( \psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) - \beta^2 \psi }

ESTABILIDADE

Para analisar a estabilidade do método, utilizamos os Modos de Fourrier: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi_i^n=A^n e^{iki \Delta x} }